Matematyka.pl

Cześć,
tworzę program rysujący konstrukcje obrazu, mój problem dotyczy zwierciadeł będących fragmentami okręgów.

Muszę obliczyć miejsce, w którym stała funkcja liniowa przecina się z okręgiem. Wartość każdego z punktów funkcji jest znana. Okrąg o promieniu r jest umieszczony w układzie współrzędnych.

Przyjmujemy za punkt przecięcia punkt \(\displaystyle{ A(x,y)}\), a za środek okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) punkt \(\displaystyle{ O(a,b)}\).

W obliczeniach wyszedłem z \(\displaystyle{ (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}}\). Muszę obliczyć \(\displaystyle{ x}\), na razie doszedłem do \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a} - 2x = \frac{r^{2}+2yb-a^{2}-y^{2}}{a}}\).

Czy istnieje jakaś możliwość wyciągnięcia z tego wzoru samego \(\displaystyle{ x}\)? Może da się to obliczyć w inny sposób?

Jestem dopiero w gimnazjum, więc nie mam za bardzo pomysłów na tego \(\displaystyle{ x}\)'a. Jakieś pomysły?

Mnożymy przez \(\displaystyle{ a}\) obustronnie. Podstawmy \(\displaystyle{ q=r^{2}+2yb-a^{2}-y^{2}}\).
Mamy:

\(\displaystyle{ x^2-2ax+q=0}\)

i teraz wystarczy rozwiązać...

Były takie równania już u Ciebie w gimnazjum czy nie bardzo...?

Wielki dzięki. Jednak ten x będzie liczony automatycznie i nie mogę pozostawić przy nim innych danych. Nie rozumiem, jak w taki sposób obliczyć \(\displaystyle{ x}\)'a.

Idąc dalej Twoim pomysłem, \(\displaystyle{ x^{2}-2ax = -q}\). Wtedy I tak w przykładzie pozostaje \(\displaystyle{ a}\). Nie widzę za bardzo możliwości usunięcia tej wrednej literki z lewej strony.

Podejrzewam, że to wina mojego braku pomysłów

Edit: Rzuciłem tylko okiem na ten wzór, nie czytając do końca Nie mam pojęcia jak to rozwiązać.

Wyznaczymy dokładnie \(\displaystyle{ x}\):

\(\displaystyle{ \Delta_x=4\left(a^2-q\right)}\)

I teraz w zależności od \(\displaystyle{ \Delta_x}\):

1) \(\displaystyle{ \Delta_x=0 \Leftrightarrow a^2=q}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{2a}{2}=a}\)

2) \(\displaystyle{ \Delta_x >0\Leftrightarrow a^2>q}\)

\(\displaystyle{ x=a-\sqrt{a^2-q}\vee x=a+\sqrt{a^2-q}}\)

Podejrzewam, że chodzi o ten drugi przypadek (przecięcie w dwóch punktach). Pierwszy przypadek daje nam styczność funkcji z okręgiem.

Zaadoptuję, licząc, że działa

-- 16 lut 2011, o 19:48 --

Przyjąłem, że y=3, środek okręgu znajduje się w punkcie O(2,2), a r=5.

Używając \(\displaystyle{ x=a+\sqrt{a^{2}-q}}\) wychodzi mi, że \(\displaystyle{ a=2+\sqrt{-20}}\)

Coś tu nie gra :/

-- 17 lut 2011, o 13:40 --

Przygotowałem prosty obrazek, z danymi na których operuję.

Przecież warunek początkowy jest dla tego przypadku \(\displaystyle{ \Delta>0}\) czyli \(\displaystyle{ a^2>q}\) więc...

Założenia bardzo mi się podobają , ale jakbym tego nie liczył (dane z obrazka) to mam

\(\displaystyle{ q=r^{2} + 2yb -a^{2}-y^{2}}\)
\(\displaystyle{ q=25+12-4-9}\)
\(\displaystyle{ q=24}\)
\(\displaystyle{ x=a+ \sqrt{a^{2}-q}}\)
\(\displaystyle{ x=a+ \sqrt{4-24}}\)
\(\displaystyle{ x=a+ \sqrt{-20}}\)

I tutaj \(\displaystyle{ a^{2} > q}\) się nie zgadza :/

Czemu to tak nie działa?

Nie zadziała - najpierw musisz ocenić wartość wyrażenia (znak) \(\displaystyle{ a^2-q}\)a dopiero potem zastosować konkretny przypadek.

W takim razie żeby liczba z pierwiastka była dodatnia, co należy zrobić? Zamiast odejmować, dodać \(\displaystyle{ q}\)? Minus przed wyrażeniem?

Nie może być tak nie można kombinować. Nie można sobie dowolnie dobierać liczb i potem od środka liczyć. Masz wszystkie dane aby obliczyć \(\displaystyle{ q}\). Liczysz \(\displaystyle{ q}\) i określasz znak (wartość) \(\displaystyle{ a^2-q}\) i bierzesz jeden z 3 przypadków. A może coś nie tak policzyłeś na samym początku? sprawdź prawdziwość początkowego wzoru...

Faktycznie zgubiłem po drodze \(\displaystyle{ b^{2}}\), jednak to nie zmienia faktu, że pierwiastek dalej jest z liczby ujemnej:


\(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^{2}=r^{2}-(y^{2}-2yb+b^{2})}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-2ax=r^{2}+2yb-a^{2}-b^{2}-y^{2}}\)

\(\displaystyle{ q=r^{2}+2yb-a^{2}-b^{2}-y^{2}}\)

\(\displaystyle{ q=25+12-4-4-9=20}\)


I teraz też \(\displaystyle{ a^{2}<q}\).

Zastanówmy się, chociaż mi tu wszystko zasadniczo gra...

Udało mi się dojść do jeszcze innego wzoru:


\(\displaystyle{ x^{2} - 2ax = r^{2} + 2yb - a^{2} - b^{2} - y^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^{2} = r^{2} + 2yb - b^{2} - y^{2}}\)

Pierwiastkuję, zakładając, że \(\displaystyle{ x-a < 0}\), gdyż szukam miejsca lewego przecięcia:

\(\displaystyle{ -(x-a) = \sqrt{r^{2}+2yb-b^{2}-y^{2}}}\)

\(\displaystyle{ x = a - \sqrt{r^{2}+2yb-b^{2}-y^{2}}}\)

\(\displaystyle{ x = 2 - \sqrt{25+12-4-4}}\)

\(\displaystyle{ x = 2 - \sqrt{29}}\)

\(\displaystyle{ x= 2 - 5,38 = -3,38}\)


To już się chociaż trochę zgadza, ale punkt będzie poza okręgiem (\(\displaystyle{ x < a-r}\)).

Właśnie a tak chyba nie za bardzo...
Zastanowię się jeszcze (wrzuć mi całe zadanie na PW).

Poszło.