Matematyka.pl

Dane są wierzchołki \(\displaystyle{ A(0,1), C(6,5)}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\).

Mam pytanie, jak to najprościej zrobić? Widzę, że można to zrobić metodą, że wyznaczam prostą kierunkową \(\displaystyle{ AC}\), potem środek odcinka \(\displaystyle{ AC}\) i znajduję prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ AC}\) przechodzącą przez środek tego odcinka \(\displaystyle{ AC}\). Następnie na tej prostej znajduję takie punkty, aby ich odległość od środka odcinka \(\displaystyle{ AC}\), była równa odległości punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) od środka odcinka \(\displaystyle{ AC}\), ale przyznam szczerze, że strasznie to długie żmudne to liczenie i mam pytanie w związku z tym czy nie można jakoś prościej zrobić tego zadania? Tylko chciałbym, aby to rozwiązanie było na poziomie szkoły średniej, a nie studiów.

Wyznaczyłbym środek ciężkości danego kwadratu i wykorzystał hint z
geometria-analityczna-f38/punkty-a-5-4- ... 53754.html

Pozdrawiam

Ten sposób pozwala obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków prawie bez rachunków:

Jeżeli dane są czerwone punkty `A(x_a,y_a), C(x_c,y_c)` , to postępujemy tak: wyznaczamy niebieski środek `S` odcinka `AC` i rysujemy prostokąt, którego przekątną jest `AC` (czerwony). Następnie obracamy go o kąt prosty względem `S` (zielony). Odpowiednie zielone wierzchołki będą wierzchołkami szukanego kwadratu
przekatna.jpg
Teraz łatwo wyliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków. Np. `x_d=x_s-\frac{y_c-y_a}{2}=\frac{x_a+x_c-y_c+y_a}{2}`, `y_d=y_s+\frac{x_c-x_a}{2}=\frac{x_c-x_a+y_c+y_a}{2}` itd.


Warto zauważyć, że w tym rozwiązaniu nie trzeba konstruować tych prostokątów. Są one jedynie po to, aby uzasadnić, że współrzędne punktów `B` i `D` wyrażają się takimi właśnie wzorami.