Matematyka.pl

Witam, czy ma ktoś do polecenia jakieś przykłady dowodów z wykorzystaniem nierówności Jensena, najlepiej z rozwiązaniami, (tak bym mógł skorygować czy poprawnie je rozwiązuje).Chcę je porządnie ogarnąć. Jeśli chodzi o poziom to licealno-konkursowy

Z nierówności Jensena wynikają dla przykładu nierówności między średnimi. Zastosuj tę nierówność do funkcji wypukłej \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) (dla \(\displaystyle{ x>0}\)). Zastosuj ją (oczywiście w drugą stronę) do funkcji wklęsłej \(\displaystyle{ g(x)=\ln x}\) (też dla \(\displaystyle{ x>0}\)).

To podejście ma tę zaletę, że jest uniwersalne. Można pokazać te nierówności dla średnich z dowolnej ilości liczb dodatnich, także w postaci ważonej. Nie trzeba tu indukcji. Ale coś za coś - indukcja jest potrzebna do dowodu samej nierówności Jensena w postaci

\(\displaystyle{ f\left(\sum_{i=1}^n t_ix_i\right)\le\sum_{i=1}^n t_if(x_i).}\)

dla wszystkich argumentów \(\displaystyle{ x_i,\dots,x_n}\) oraz skalarów nieujemnych \(\displaystyle{ t_1,\dots,t_n}\) sumujących się do jedynki.

Chyba że... ma się tę nierówność w postaci miarowo-całkowo-probabilistycznej:

\(\displaystyle{ f\left(EX\right)\le Ef(x)}\)

dla funkcji wypukłej \(\displaystyle{ f}\) oraz całkowalnej (tj. posiadającej wartość oczekiwaną) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o wartościach w dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f}\). Ale to już znacznie przekracza poziom, o którym mówisz. Nic jednak nie przeszkadza, abyś wiedział o takich uogólnieniach. W każdym razie biorąc dyskretną zmienną losową o funkcji prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ (x_i,t_i)}\) natychmiast dostajemy pierwszą z cytowanych nierówności.

Ale mnie poniosło... ale powstrzymam się.

Kilka trygonometrycznych nierówności:
Niech \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) i \(\displaystyle{ x+y+z=\pi}\). Dowieść, że:
1) \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{x}{2}\right) \sin\left( \frac{y}{2}\right)\sin \left( \frac{z}{2}\right) \le \frac{1}{8}}\)
2)\(\displaystyle{ \sin x+\sin y+\sin z \le \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
3)\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) \cos\left( \frac{y}{2}\right)\cos \left( \frac{z}{2}\right) \le \frac{3 \sqrt{3} }{8}}\)
Rozstrzygnąć także, kiedy zachodzi równość.
Jeszcze zaproponuję coś takiego; wykazać:
\(\displaystyle{ x \ln x+2y\ln y+3z \ln z +\left( x+2y+3x\right) \ln 6 \ge \left( x+2y+3z\right)\ln\left( x+2y+3z\right)}\) dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\)
Spróbuj sam je udowodnić, w razie problemów można coś poradzić

Dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) powinno zachodzić \(\displaystyle{ a^ab^b \le \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\). Możesz też pokombinować czy zajdzie to dla większej liczby zmiennych.

karolex123 pisze:Kilka trygonometrycznych nierówności:
Niech \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) i \(\displaystyle{ x+y+z=\pi}\). Dowieść, że:
2)\(\displaystyle{ \sin x+\sin y+\sin z \le \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)

Być może się zbłaźnię, ale co tam. Wychodzą mi bzdury, bowiem:
Skoro rozpatrujemy przedział \(\displaystyle{ x,y,z \in \left( 0; \pi \right)}\) to sinus jest tutaj funkcją wklęsłą, zatem:
\(\displaystyle{ \sin(x+y+z) \ge \sin(x) + \sin(y)+ \sin(z) \Rightarrow \sin(x) + \sin(y)+ \sin(z) \le 0}\) więc tak delikatnie się nie zgadza bo każdy z tych sinusów jest dodatni...

Najwyraźniej nie rozumiesz warunku z nierówności Jensena, czy ogólnie wypukłości/wklęsłości (lub po prostu się pomyliłeś).
Gdzie w tej nierówności (niepoprawnej):

\(\displaystyle{ \sin(x+y+z) \ge \sin(x) + \sin(y)+ \sin(z)}\)

współczynniki sumujące się do \(\displaystyle{ 1}\)?
Natomiast masz rację, że funkcja sinus jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (0,\pi)}\).

Nierówność \(\displaystyle{ \sin x+\sin y+\sin z \le \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
podziel stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) (dostaniesz wtedy współczynniki \(\displaystyle{ \frac 1 3}\) przy tych sinusach, a więc ich suma wyniesie \(\displaystyle{ 1}\)), a potem Jensen.

Premislav pisze:Najwyraźniej nie rozumiesz warunku z nierówności Jensena, czy ogólnie wypukłości/wklęsłości (lub po prostu się pomyliłeś).
Gdzie w tej nierówności (niepoprawnej):

\(\displaystyle{ \sin(x+y+z) \ge \sin(x) + \sin(y)+ \sin(z)}\)

współczynniki sumujące się do \(\displaystyle{ 1}\)?
Natomiast masz rację, że funkcja sinus jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (0,\pi)}\).

Nierówność \(\displaystyle{ \sin x+\sin y+\sin z \le \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
podziel stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) (dostaniesz wtedy współczynniki \(\displaystyle{ \frac 1 3}\) przy tych sinusach, a więc ich suma wyniesie \(\displaystyle{ 1}\)), a potem Jensen.

Wszystko jasne, mam pod ręką spis twierdzeń, widocznie dla autora było to oczywiste i miało służyć za formę powtórki, omylnie uznałem to za pewnik i nie wiedziałem o tym warunku z sumowaniem wag. Teraz sprawdziłem, faktycznie tak jest, postaram rozwiązać resztę w takim razie.

-- 10 kwi 2018, o 21:48 --

karolex123 pisze:Kilka trygonometrycznych nierówności:
Niech \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) i \(\displaystyle{ x+y+z=\pi}\). Dowieść, że:
1) \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{x}{2}\right) \sin\left( \frac{y}{2}\right)\sin \left( \frac{z}{2}\right) \le \frac{1}{8}}\)
2)\(\displaystyle{ \sin x+\sin y+\sin z \le \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
3)\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) \cos\left( \frac{y}{2}\right)\cos \left( \frac{z}{2}\right) \le \frac{3 \sqrt{3} }{8}}\)
Rozstrzygnąć także, kiedy zachodzi równość.
Jeszcze zaproponuję coś takiego; wykazać:
\(\displaystyle{ x \ln x+2y\ln y+3z \ln z +\left( x+2y+3x\right) \ln 6 \ge \left( x+2y+3z\right)\ln\left( x+2y+3z\right)}\) dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\)
Spróbuj sam je udowodnić, w razie problemów można coś poradzić

A więc jeszcze raz:
1) \(\displaystyle{ a = \frac{x}{2} \wedge b= \frac{y}{2} \wedge c= \frac{z}{2}}\)
Z nierówności między średnimi mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin a+\sin b+\sin c}{3} \ge \sqrt[3]{\sin a \sin b \sin c}}\)
ale z nierówności Jensena mamy:
\(\displaystyle{ \sin(\frac{a+b+c}{3}) = \sin( \frac{ \pi }{6}) = \frac{1}{2} \ge \frac{\sin a+\sin b+\sin c}{3} \ge \sqrt[3]{\sin a \sin b \sin c} \Rightarrow \sin a \sin b \sin c \le \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ (2)}\) oraz \(\displaystyle{ (3)}\) bardzo podobnie. Czy teraz dobrze to zrobiłem?

Jest ok. Możesz jeszcze się zastanowić nad tym, kiedy zachodzi równość, ale to jest już bardzo łatwe

karolex123 pisze:Jest ok. Możesz jeszcze się zastanowić nad tym, kiedy zachodzi równość, ale to jest już bardzo łatwe

Wówczas gdy argumenty \(\displaystyle{ x,y,z}\) są sobie równe, ale czy tak jest zawsze?

-- 11 kwi 2018, o 14:24 --

karolex123 pisze: 3)\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) \cos\left( \frac{y}{2}\right)\cos \left( \frac{z}{2}\right) \le \frac{1}{8}}\)

co do tego przykładu to mam jedną poważną wątpliwość. Skoro \(\displaystyle{ x+y+z= \pi}\) a funkcja cosinus jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0; \frac{\pi}{2} \right\rangle}\) i wypukła dla \(\displaystyle{ \left\langle \frac{\pi}{2}; \pi \right\rangle}\) to na pewno mogę z pewnością korzystać z Jensena? Przecież jeden z tych cosinusów może być w przedziale dla wklęsłej a drugi i trzeci dla wypukłej? A i jak tutaj jest z domykaniem przedziałów, funkcja może być jednocześnie wklęsła i wypukła (to co zrobiłem przed chwilą)?-- 11 kwi 2018, o 14:55 --

Janusz Tracz pisze:Dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) powinno zachodzić \(\displaystyle{ a^ab^b \le \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\). Możesz też pokombinować czy zajdzie to dla większej liczby zmiennych.

Nie wiem jak to ugryźć... wiem tyle, że funkcja wykładnicza będzie wypukła, ale z drugiej strony jak tu konkretnie tę funkcję wyłuskać... mógłby ktoś pomóc?

Janusz Tracz się chyba troszkę pomylił i miało pewnie być:
\(\displaystyle{ a^bb^a \le \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\)

Nierówność \(\displaystyle{ a^bb^a \le \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\) zlogarytmuj stronami, po czym podziel stronami przez \(\displaystyle{ a+b}\). Są to przejścia równoważne, ponieważ \(\displaystyle{ \ln x}\) jest funkcją rosnącą, a skoro \(\displaystyle{ a,b>0}\), to też \(\displaystyle{ a+b>0}\).
Masz taką postać:
\(\displaystyle{ \frac{a}{a+b} \ln(b)+ \frac{b}{a+b}\ln (a)\le \ln\left( \frac{a+b}{2}\right)}\)
dalej korzystasz z nierówności Jensena dla funkcji \(\displaystyle{ \ln x}\) (wklęsła), argumentów \(\displaystyle{ b, a}\) oraz wag \(\displaystyle{ \frac{a}{a+b}, \ \frac{b}{a+b}}\).
Potem, z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \ln x}\) jest rosnąca, zostaje pokazać w dodatnich, że
\(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b} \le \frac{a+b}{2}}\),
co jest bardzo łatwym ćwiczeniem, wynika to też bezpośrednio z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną.-- 11 kwi 2018, o 15:46 --Aha, literalnie nierówność, którą napisał Janusz Tracz, jest nieprawdziwa dla wszystkich dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) prócz równych, natomiast zajdzie nierówność z przeciwnym zwrotem:
\(\displaystyle{ a^ab^b \ge \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\)
dla \(\displaystyle{ a,b>0}\). Logarytmujemy stronami, dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i korzystamy z wypukłości \(\displaystyle{ x\ln x}\) – mamy bowiem \(\displaystyle{ (x\ln x)''=\frac 1 x>0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).

Miałem na myśli tą drugą opcję. Faktycznie przekręciłem znak a pamiętam że się zastanawiałem 3 razy nad nim czy jest w dobrą stronę a mimo to mi się przekręcił. Dziękuję Premislav, za słuszną uwagę. I przepraszam za pomyłkę.

Okej, a mógłby ktoś jeszcze spojrzeć na te wątpliwości?

karolex123 pisze:Jest ok. Możesz jeszcze się zastanowić nad tym, kiedy zachodzi równość, ale to jest już bardzo łatwe

Wówczas gdy argumenty \(\displaystyle{ x,y,z}\) są sobie równe, ale czy tak jest zawsze?

karolex123 pisze: 3)\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) \cos\left( \frac{y}{2}\right)\cos \left( \frac{z}{2}\right) \le \frac{1}{8}}\)

co do tego przykładu to mam jedną poważną wątpliwość. Skoro \(\displaystyle{ x+y+z= \pi}\) a funkcja cosinus jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0; \frac{\pi}{2} \right\rangle}\) i wypukła dla \(\displaystyle{ \left\langle \frac{\pi}{2}; \pi \right\rangle}\) to na pewno mogę z pewnością korzystać z Jensena? Przecież jeden z tych cosinusów może być w przedziale dla wklęsłej a drugi i trzeci dla wypukłej? A i jak tutaj jest z domykaniem przedziałów, funkcja może być jednocześnie wklęsła i wypukła (to co zrobiłem przed chwilą)?

Ale skoro \(\displaystyle{ x+y+z= \pi}\), to \(\displaystyle{ \frac x 2+\frac y 2+\frac z 2=\frac \pi 2}\)
i z tego oraz z dodatniości kątów już masz, że z liczb \(\displaystyle{ \frac x 2, \ \frac y 2, \ \frac z 2}\)
są w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac \pi 2\right)}\).

A co do domykania przedziałów, dla porządnych funkcji (np. ciągłych) to nie ma żadnego znaczenia.