Matematyka.pl

Witam

Na wstępie chcę uprzedzić że piszę z telefonu więc mogę robić błędy.

Poszukuję dowodów wzorów matematycznych które są zawarte w tablicach szkolnych.
Uważam że gdy się zapoznam z nimi wtedy łatwiej będzie mi z nimi się obchodziło - lepiej je zapamiętam i zrozumiem.

Nie piszę tu z lenistwa, szukałem już w tych miejscach internetu które mi przyszły na myśl lecz bez rezultatu.

Najbardziej interesujące są dla mnie w tym momencie wzory potęg gdyż nie umiem sobie wyprowadzić dlaczego liczba do potęgi 0 wynosi 1 albo dlaczego liczba do ujemnej potęgi n wynosi odwrotność a do potęgi n. To poza moimi zdolnościami.

Jak mówię nie lenie się gdyż po krótkiej zabawię uzasadniłem sobie czemu mnożenie potęg o tych samych podstawach można zapisać jako jedna potęga o podstawie a i wykładniku równym sumie wykładników tych potęg.
I inne proste wzory potęgowe.
Ale tych wspomnianych nie umiem.

Ps na telefonie nie umiem użyć LaTeXa - wybaczcie.

Pozdrawiam

Więc wiesz już że \(\displaystyle{ a^{x+y}=a^xa^y}\) . Jeśli przyjmiemy że \(\displaystyle{ y=0}\) , to zapiszemy ten wzór tak \(\displaystyle{ a^{x+0}=a^xa^0}\) , czyli po prostu \(\displaystyle{ a^x=a^xa^0}\) . Widać więc że \(\displaystyle{ a^0=1}\) .

Teraz można się zastanowić czym jest \(\displaystyle{ a^{-x}}\) . Zapiszmy nasz wzór jeszcze raz tym razem w takiej postaci \(\displaystyle{ a^{x-x}=a^xa^{-x}}\) . Lewa strona to oczywiście \(\displaystyle{ 1}\) , to już wiemy z wcześniejszego rozważania , czyli mamy \(\displaystyle{ 1=a^{x}a^{-x}}\) , stąd wniosek że \(\displaystyle{ a^{-x}= \frac{1}{a^{x}}}\) .

A co do pytania gdzie znajdziesz dowody wzorów. Nie znam strony, gdzie znajdziesz zbiorczo rozwiązane wszystkie te zagadnienia. Wydaje mi się, że łatwiej będzie Ci szukać konkretnego twierdzenia (z dopiskom dowód) niż jednaj strony, gdzie znajdziesz wszystko. Myślę, że zawsze znajdzie się ktoś chętny do przedstawiania choćby szkicu dowodu lub jakiejś intuicyjnej interpretacji, jak napiszesz twierdzenie którego dowód by Cię interesował. Wydaje mi się, że to jest nawet dobre miejsce na to, by udowodnić kilka wzorów z tablic maturalnych. Nie naszukałeś się też za dużo, bo wystarczy wpisać nazwę twierdzenia i otworzyć pierwszą stronę.



[url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Talesa]Twierdzenie Talesa[/url]
[url=https://pl.wikipedia.org/wiki/Sieczna]Tw o Siecznej i stycznej[/url]

Dzięki wielkie!

Znałem Wikipedię już wcześniej ale liczyłem na coś bardziej dla opornych tak jak ty wytlumaczyłeś potęgi.

-- 16 lut 2018, o 17:13 --

Witam

Ja znów w sprawie wyprowadzeń wzorów.
Nie moge dać sobie rady z pozostałymi wzorami na potęgi i pierwiastki.

Na liczbach oczywiście wychodzi ale to nie jest tak błyskotliwy sposób jak twój.

1) Czy możesz powiedzieć gdzie się nauczyłeś wyprowadzać wzory - zauważać takie a nie inne zalezności.

2)Czy pomógł byś z któryms z tych wzorów na potęgi?

\(\displaystyle{ \left( ab \right) ^{m} = a ^{m} \cdot b^{m} \\
\left( \frac{a}{b} \right) ^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}} \\
\left( a^{m} \right) ^{n} = a^{m \cdot n}}\)

Udowodnimy pierwszy wzór. Mamy:
\(\displaystyle{ (a \cdot b)^n= \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{n}}\)
Mnożenie jest przemienne, więc możemy pominąć nawiasy i po skorzystaniu ze wzoru na iloczyn potęg o jednakowych podstawach i różnych wykładnikach, zapisać, że zachodzi równość \(\displaystyle{ (a \cdot b)^n= \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{n}=a^n \cdot b^n}\).

Pokażemy teraz, że \(\displaystyle{ (a^m)^n=a^{mn}}\). Ponownie skorzystamy ze wzoru na iloczyn potęg, tzn. \(\displaystyle{ a^x \cdot a^y=a^{x+y}}\)Mamy

\(\displaystyle{ (a^m)^n=\underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \cdots \cdot a^m}_{n}}\). Ze wzoru na iloczyn potęg o jednakowych podstawach otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ (a^m)^n=\underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \cdots \cdot a^m}_{n}=a^{\underbrace{m+m+\cdots+m}_{n}}=a^{mn}}\), co należało dowieść.

Wzór na potęgę ilorazu wynika z dwóch poprzednich.
Mamy:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{b}\right)^n=(a\cdot b^{-1})^n=a^n \cdot (b^{-1})^n=a^n \cdot \left(\frac{1}{b}\right)^n=a^n \cdot \frac{1}{b^n}=\frac{a^n}{b^n}}\).

Co do nauki wyprowadzania różnych zależności, to moim zdaniem pomaga tutaj po prostu doświadczenie. Jeśli ktoś rozwiązał dziesiątki różnego rodzaju problemów matdmatycznych, to z łatwością będzie dostrzegać różne zależności.

A tak naprawdę tam, gdzie są kropeczki, to mamy dowody indukcyjne...

JK

Ja wiem, że lepiej byłoby wykazać te twierdzenia indukcyjnie, ale jednak mimo to chciałem pokazać jaka intuicja kryje się za tymi wzorami. Pamiętajmy, że w szkole średniej nie ma zasady indukcji, więc osoba, której wiedza matematyczna ogranicza się do matematyki szkolnej, lepiej zrozumie intuicyjny "dowód" niż taki, który wykorzystuje indukcję.

Ależ rozumiem Twoją intencję. To był tylko komentarz poboczny.

JK