Matematyka.pl

W zadaniu trzeba wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości następującej funkcji

\(\displaystyle{ y = \frac{1}{1- \sqrt{x-2} } }\)

Dziedzina to \(\displaystyle{ D: \left[ 2, 3\right) \cup \left( 3, \infty \right) }\). Problem mam z wyznaczeniem zbioru wartości. Według książki, z której mam to zadanie, aby je rozwiązać trzeba przekształcić powyższe równanie do postaci

\(\displaystyle{ x = 2 - (1 - \frac{1}{y} ) ^{2} }\)

I z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ y \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ ZW: \left( - \infty, 0\right) \cup \left( 0, \infty \right) }\). Sprawdziłem wykres tej funkcji w GeoGebrze i wygląda na to, że nie jest to prawidłowa odpowiedź. W związku z tym mam dwa pytania:
1. Jak powinno się rozwiązać to zadanie? Zazwyczaj staram się rysować wykres funkcji i z niej wyczytać zbiór wartości, ale w książce nie było jeszcze tematu o rysowaniu funkcji wymiernych.
2. Czy taki sposób jaki zaproponowano w książce jest prawidłowy dla innych przypadków? Jeśli tak to proszę o wyjaśnienie, dlaczego to działa i dlaczego akurat nie dla tego przypadku? Domyślam się, że tutaj to kwestia podnoszenia pierwiastka do kwadratu, tylko i tak nie wiem co z tym zrobić.

Tyle że równanie po przekształceniu nie jest równoważne wyjściowemu. Zanalizujmy to:
`1-\sqrt{x-2}=1/y`
`\sqrt{x-2}=1-1/y`
i tu zaczynają się schody: to równanie ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy prawa strona jest dodatnia (z oczywistych względów), a zatem gdy `y<0` lub gdy `y\ge 1` I to jest rozwiązanie zadania.
Podnosząc do kwadratu dodatemy rozwiązania równania `-\sqrt{x-2}=1-1/y` i stąd wynikają kłopoty.

Jeżeli już ustaliłeś dziedzinę, to można róznież badać najmniejsze i największe wartości funkcji w przedziałach okresloności i zastosować własność Darboux (mówimy o funkcjach ciągłych).
Tutaj jest to dosyć proste:

W przedziale `x\in[2,3)` wyrażenie `x-2` rośnie, więc `\sqrt{x-2}` też rośnie. Zatem `1-\sqrt{x-2}` maleje od `1` do `0`, zatem odpowiadające `y` rośnie od `1` do `\infty`.

W przedziale `x\in(3,\infty)` wyrażenie `x-2` rośnie, więc `\sqrt{x-2}` też rośnie. Zatem `1-\sqrt{x-2}` maleje od `0` do `-\infty`, zatem odpowiadające `y` rośnie od `-\infty` do `0`.