Matematyka.pl

Witam,
Proszę o pomoc w zadaniu:
\(\displaystyle{ y= \frac{(x-1)^{3}}{(x+1) ^{2}}}\)

Gdzie popełniam błąd?

Obliczyłem pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ y'= \frac{(x-1)^2(x+5)}{(x+1)^3}}\)

Miejsca zerowe pochodnej: \(\displaystyle{ x_1=x_2=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=-5}\).
Dziedzina (funkcji oraz pochodnej): \(\displaystyle{ x\in(- \infty,-1) \cup (-1,+ \infty)}\)

Jeżeli te dane są poprawne, to wychodzi mi następująca monotoniczność:
\(\displaystyle{ f(x)}\) rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in(-5,-1) \cup(-1,+ \infty)}\)
\(\displaystyle{ f(x)}\) malejąca dla \(\displaystyle{ x \in(- \infty, -5)}\)

i minimum lokalne w \(\displaystyle{ x=-5}\)

Tymczasem poprawna odpowiedź:
\(\displaystyle{ f(x)}\) rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in(- \infty , -5) \cup (-1, \infty )}\)
\(\displaystyle{ f(x)}\) malejąca dla \(\displaystyle{ x \in(-5,-1)}\)

i maksimum lokalne w \(\displaystyle{ x=-5}\)

Czyli analizując poprawny wynik, funkcja powinna mieć miejsce zerowe w \(\displaystyle{ x=-1}\), ale \(\displaystyle{ x=-1}\) przecież nawet nie należ do dziedziny!!!

Proszę o pomoc, siedzę już nad tym kilka dni

Daniel80 pisze:Czyli analizując poprawny wynik, funkcja powinna mieć miejsce zerowe w \(\displaystyle{ x=-1}\), ale \(\displaystyle{ x=-1}\) przecież nawet nie należ do dziedziny!!!

Nieprawda, nie powinna mieć tam miejsca zerowego.  Żeby się o tym przekonać rozważ funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) w otoczeniu zera.

Daniel80 pisze:Jeżeli te dane są poprawne, to wychodzi mi następująca monotoniczność:
\(\displaystyle{ f(x)}\) rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in(-5,-1) \cup(-1,+ \infty)}\)
\(\displaystyle{ f(x)}\) malejąca dla \(\displaystyle{ x \in(- \infty, -5)}\)

A skąd Ty to wytrzasnąłeś? Przecież znak pochodnej nie zależy tylko od licznika, ale także od mianownika.

JK

Dziękuję za obydiwe odpowiedzi niestety nadan nie rozumiem gdzie popełniam błąd:-)

Postaram się więc uszczegółowić, mam nadzieję że po dodatkowym opisie będziecie mnie mogli naprowadzić na błąd:

Przybliżony wykres pochodnej powinien wyglądać mniej więcej tak:


Czyli -5 i -1 jako miejsca zerowe pochodnej (i punkty zmiany monotoniczności w tym przykładzie) - przynajmniej zawsze tak było w zadaniach które robiłem do tej pory... ale, tak jak napisałem wcześniej, -1 według mnie nie należy do dziedziny ponieważ po podstawieniu daje dzielenie przez 0 więc może być co najwyżej asymptotą, a asymptota nie może być punktem zmiany monotoniczności bo nie należy do funkcji(przynajmniej tak to do tej pory rozumiałem).

Odpowiadając na pytanie, odnośnie mojej (ewidentnie błędnej) dziedziny, mój tok myślenia był następujący:

\(\displaystyle{ \frac{ (x-1)^{2} \cdot (x+5)^{}}{ (x+1)^{3} }=0}\)

\(\displaystyle{ (x-1) ^{2}=0 \vee (x+5)=0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1=0 \vee x=-5}\)

\(\displaystyle{ delta=0}\)

\(\displaystyle{ x _{1}=x_{2}=1}\)

Wszystkie rozwiązania: 1(podwójne), -5. Nie rozpatruję przypadku:

\(\displaystyle{ (x+1)^{3}}\)

Ponieważ mianownik nie może być równy zero (-1 nie należy do dziedziny)

Czy takie rozumowanie jest poprawne? Jeśli tak to gdzie jest błąd?

Rysujesz tą pochodną, jakoby była wielomianem, tymczasem jej wykresem jest zupełnie inna krzywa i nie możesz jej od tak sobie narysować. Miejsca zerowe będą wyglądać takie, jak policzyłeś (przy czym -1, nawet gdyby -1 należało do dziedziny, a słusznie nie należy, nie byłoby miejscem zerowym, bo mianownik nie ma wpływu na miejsca zerowe funkcji wymiernej...), zobacz choćby . Zamiast "pałować" rozwiązanie, sprawdź

a) Znak pochodnej w otoczeniu punktów krytycznych -> To on mówi ci, czy miejsce jest ekstremum, czy nie...
b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to (-1)^{\pm}}}\), bo to te granice powiedzą ci, czy funkcja maleje czy rośnie w danych przedziałach

Łącząc podpunkty a i b otrzymujesz przedziały monotoniczności funkcji

Oczywiście nie jest poprawne.

Daniel80 pisze:Przybliżony wykres pochodnej powinien wyglądać mniej więcej tak:

Zdecydowanie tak nie wygląda, skąd ten pomysł?! Po Twoim rozwiązaniu widać, że zadania rozwiązujesz schematami, bez zrozumienia tego, co robisz.

Pochodna istotnie wygląda tak:

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{ (x-1)^{2} \cdot (x+5)^{}}{ (x+1)^{3} }}\)

i ma dwa miejsca zerowe: \(\displaystyle{ x=-5}\) (pojedyncze) i \(\displaystyle{ x=1}\) (podwójne) oraz \(\displaystyle{ x=-1}\) nie należy do dziedziny, ale później jej badanie nie ma nic wspólnego z rzeczywistością.

Wykres pochodnej wygląda mianowicie tak (na czerwono masz asymptotę): ale do zbadania znaku pochodnej nie potrzebujesz wiedzieć, jak dokładnie wygląda jej wykres. Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ (x-1)^{2}}\) jest zawsze nieujemne, a znak \(\displaystyle{ (x+1)^{3}}\) jest taki sam, jak znak \(\displaystyle{ x+1}\), co oznacza, że znak pochodnej jest taki sam, jak znak wyrażenia \(\displaystyle{ (x+5)(x+1)}\) (pamiętając o dziedzinie) itd.

JK

Dziękuję za wyjaśnienie, wykres mimo wszystko pomaga zrozumieć:-) Myślę, że już rozumiem, oczywiście kolejne zadania to zweryfikują