Wyznacz a i b, tak aby funkcja była różniczkowalna

mumineq · Post autor: **mumineq** » 27 kwie 2005, o 18:49

mam problem z zad:
wyznacz wartości a,b dla których funkcja:
\(\displaystyle{ f(x)=\{\frac{ax-4}{x+b}\ dla x\leq 0\ i\ x\neq -b\\\frac{3}{2}x-2\ dla\ x>0}\)
była różniczkowalna w pkt x=0

nie moge nijak znaleźć a. b wychodzi 2 ale a nie wiem.

Post autor: **olazola** » 27 kwie 2005, o 19:57

Trochę poprawiłam zapis i temat mam nadzieje że o to chodziło.

Jeśli chodzi o rozwiazanie, to trzeba zbadac ciągłość i pochodna musi byc równa.

mumineq · Post autor: **mumineq** » 28 kwie 2005, o 07:36

tak, ale zauważ że z ciągłości tylko b wyliczysz. parametr a jest przy x, a x0 = 0

ap · Post autor: ap » 28 kwie 2005, o 08:08

Napisała przecież o istnieniu pochodnej w \(\displaystyle{ x_0}\).

mumineq · Post autor: **mumineq** » 28 kwie 2005, o 10:51

tak czy siak parametru a nie da się wyliczyć biorąc pod uwagę samą tylko ciągłość. bo dla każdego a \(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\frac{ax-4}{x+b}=2}\)
ale czy dla każdego będzie też różniczkowalna??

Post autor: **olazola** » 28 kwie 2005, o 11:20

Coś się uparł na tę ciągłość, zgadza się że parametr b wyliczamy z ciągłości, ale parametr a dostajesz z pochodnych.

ap · Post autor: ap » 28 kwie 2005, o 11:50

Spójrz na to tak. Żeby funkcja była różniczkowalna w (0,-2), to te dwa wykresy muszą się w tym punkcie łączyć gładko (nie może tam być żadnego "ostrza"). No to jakie musi być równanie stycznej do pierwszego wykresu w (0,-2)?

mumineq · Post autor: **mumineq** » 28 kwie 2005, o 13:06

czyli :
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\frac{ax-4}{x+b}=f'(x)}\) ???

ap · Post autor: ap » 28 kwie 2005, o 13:14

Chodzi o to, że b to już sobie wyliczyłeś. I teraz:

1. Podstawiasz b i liczysz pochodną dla pierwszej funkcji.
2. Do tego, co Ci wyjdzie, podstawiasz x=0 - i dostajesz współczynnik kierunkowy stycznej w (0,-2).
3. A styczna w (0,-2) ma taki sam wpółczynnik kierunkowy, jak druga funkcja, bo inaczej wykresy nie łączyłyby się gładko.
4. Z tego liczysz a.

Wyniki: a=1, b=2.

mumineq · Post autor: **mumineq** » 28 kwie 2005, o 17:05

Oki. Zrozumiałem!! DZIĘKI!!