Matematyka.pl

\(\displaystyle{ y=\frac{x ^{3}-4x }{x ^{2}-1} }\)

Obliczyłam dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ D _{f}: \RR \setminus \left\{ -1,1\right\}
}\)
U tchnęłam na obliczeniu miejsc zerowych

\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}-4x }{x ^{2}-1} =0}\) - pomnożyłam obustronnie przez mianownik
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-1\right)\cdot x\cdot \left(x^{2}-4 \right) =0}\) i tutaj stanęłam wydaje mi się że powinnam jakoś wyciągnąć \(\displaystyle{ \left( x^{2}-1\right)}\) ale nie umiem tego zrobić.

albo \(\displaystyle{ \left( x^{2}-4\right) }\) rozbiję jako \(\displaystyle{ \left( x-2\right) \cdot \left( x+2\right) }\)

Oleszko12 pisze: ↑15 paź 2022, o 18:09 \(\displaystyle{ \frac{x ^{3}-4x }{x ^{2}-1} =0}\) - pomnożyłam obustronnie przez mianownik
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-1\right)\cdot x\cdot \left(x^{2}-4 \right) =0}\)

Po pierwsze, zupełnie nie ma potrzeby mnożyć przez cokolwiek, ponieważ \(\displaystyle{ \frac a b=0 \Leftrightarrow a=0}\).
Po drugie, jak już musisz, to pomnóż, ale zrobiłaś to źle, bo \(\displaystyle{ \frac{x ^{3}-4x }{x ^{2}-1}\cdot(x ^{2}-1)\ne \left( x^{2}-1\right)\cdot x\cdot \left(x^{2}-4 \right). }\)

JK

Oki, to muszę obustronnie pomnożyć przez\(\displaystyle{ \left( x^{2}-2\right)^2 }\)?
Miejsca zerowe wyszły \(\displaystyle{ x _{1}=-2}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}=2}\)
Przecięcia z osiami:
\(\displaystyle{ OX}\): \(\displaystyle{ \left( 2;0\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( -2;0\right) }\)
\(\displaystyle{ OY}\): \(\displaystyle{ \left( 0;0\right) }\)
Parzystość funkcji -> wyszło mi, że funkcja jest parzysta bo \(\displaystyle{ -f\left( x\right)=f\left( -x\right) }\) - czyli wykres powinien być symetryczny względem osi \(\displaystyle{ Y}\)
Asymptoty:
- pionowe - istnieją w punktach \(\displaystyle{ \left\{ -1\right\} }\)oraz \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\} }\) - są to asymptoty obustronne
- poziome i ukośne nie istnieją.
Monotoniczność funkcji - tutaj nie wiem jak wyznacza się przedziały monotoniczności.

Obliczyłam pochodną \(\displaystyle{ f'( x)= \frac{x^{4}+x^{3}+4}{\left( x^{2}-1\right)^{2} } }\)
mianownik będzie zawsze dodatni.

Teraz muszę chyba wyznaczyć miejsca zerowe f-cji \(\displaystyle{ f'(x)}\)- aby wyznaczyć potencjalne przedziały monotoniczności i gdzieś wyczytałam, że musze wziąć pod uwagę punkty nieciągłości w dziedzinie.

Nwm jak wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej funkcji:

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}+4=0}\)

Oleszko12 pisze: ↑15 paź 2022, o 19:51 Oki, to muszę obustronnie pomnożyć przez\(\displaystyle{ \left( x^{2}-2\right)^2 }\)?

Nie, nie musisz, JK tłumaczył Ci dlaczego. Taki zabieg jest użyteczny przy rozwiązywaniu nierównośći.

Miejsca zerowe wyszły \(\displaystyle{ x _{1}=-2}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}=2}\)

Nieprawda. Przekonasz sie o tym czytając swoje następne dwa zdania.

Przecięcia z osiami:
\(\displaystyle{ OX}\): \(\displaystyle{ \left( 2;0\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( -2;0\right) }\)
\(\displaystyle{ OY}\): \(\displaystyle{ \left( 0;0\right) }\)
Parzystość funkcji -> wysżło mi, że funkcja jest parzysta bo \(\displaystyle{ -f\left( x\right)=f\left( -x\right) }\) - czyli wykres powinien być symetryczny względem osi \(\displaystyle{ Y}\)

Pudło. Pokaż rachunki

Asymptoty:
- pionowe - istnieją w punktach \(\displaystyle{ \left\{ -1\right\} }\)oraz \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\} }\) - są to asymptoty obustronne

Tak, choć w ten sposób oznacza się zbiory, a nie punkty

- poziome i ukośne nie istnieją.

Nieprawda

Monotoniczność funkcji - tutaj nie wiem jak wyznacza się przedziały monotoniczności.

Obliczyłam pochodną \(\displaystyle{ f^{'}\left( x\right)= \frac{x^{4}+x^{3}+4}{\left( x^{2}-1\right)^{2} } }\)

Nie, ale to chyba literówka

mianownik będzie zawsze dodatni.

Teraz muszę chyba wyznaczyć miejsca zerowe f-cji \(\displaystyle{ f^{'}\left( x\right)}\)- aby wyznaczyć potencjalne przedziały monotoniczności i gdzieś wyczytałam, że musze wziąć pod uwagę punkty nieciągłości w dziedzinie.

Nwm

njkuds (nienawidzę jak ktoś używa debilne skróty)

jak wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej funkcji:

\(\displaystyle{ x^{4}+x^{2}+4=0}\)

Wystarczy kliknąć przycisk "włącz myślenie"

to miejscem zerowym jest jeszcze\(\displaystyle{ x _{3} =0}\)
Rachunki z parzystością funkcji :
\(\displaystyle{ f\left( -x\right)= \frac{\left( -x\right)^{3}-4 \cdot \left( -x\right) }{\left( -x\right)^{2}-1 } = \frac{-x^{3}+4x}{x^{2}-1} }\)
\(\displaystyle{ -f\left( x\right)= -\left( \frac{x^{3}-4x}{x^{2}-1} \right)= \frac{-x^{3}+4x}{x^{2}-1} }\) - zmieniłam znaki w liczniku skoro minus stał przed ułamkiem.

Asymptota pozioma:
\(\displaystyle{ \lim_{ \pm \infty \to }\left(\frac{x^{3}-4x}{x^{2}-1} \right)=\lim_{ \pm \infty \to }\left( \frac{x- \frac{4}{x} }{ 1-\frac{1}{x^{2}} } \right)= \pm \infty }\) - a to znaczy, że asymptota pozioma nie istnieje

z tym włączeniem myślenia mi nie idzie ... ale wpłynąłeś mi na ambicję ... spróbuję podstawić zmienną \(\displaystyle{ x^{2}=t}\)

\(\displaystyle{ t^{2}+t+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^{2}-4ac}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1^{2}-4 \cdot 1 \cdot 4=-15}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} }\) - delta jest ujemna a pierwiastek zawsze dodatni to coś mi tu nie gra

Czyli funkcja \(\displaystyle{ f'\left( x\right) }\) nie ma miejsc zerowych.

Pisałaś o asymptotach poziomych i ukośnych. Ukośne akurat są.

jeżeli chodzi o włączenie myślenia, to jak myślisz, czy suma dwóch liczb nieujemnych (`x^4+x^2`) oraz czwórki może być zerowa?

Kurczaki mi asymptota ukośna nie wychodzi:
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)

\(\displaystyle{ a= \lim_{ x \to \pm \infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{ x \to \pm \infty } \frac{x \cdot \left( x^{3}-4x\right) }{x^{2}-1}=\lim_{ x \to \pm \infty } \frac{x^{2}-4}{1- \frac{1}{x^{2}} } = \pm \infty }\) - czyli a nie jest liczbą więc brak jest asymptoty ukośnej.

Masz rację , równanie z potęgami parzystymi i stałą dodatnią zawsze będzie nieujemne.

Monotoniczność funkcji:
Wyszło nam że \(\displaystyle{ f'(x)}\) nie ma miejsc zerowych.
Nieciągłości z dziedziny to \(\displaystyle{ x_{1}=-2,x_{2}=2, x_{1}=0 }\) i mamy jeszcze dwie asymptoty \(\displaystyle{ x=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\)więc trzeba sprawdzić jak się funkcja zachowuje w przedziałach
\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2\right), \left( -2;-1\right), \left(-1,0 \right), \left( 0,1\right), \left( 0;2\right), \left(2;+ \infty \right) }\)

\(\displaystyle{ f'\left( x\right)>0 }\) - funkcja rosnąca
\(\displaystyle{ f'\left( x\right)<0}\) - funkcja malejąca

sprawdzam znak dla \(\displaystyle{ f'\left( x_{n}\right) }\)
Dla przedziału :\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2\right),}\) wybrałam \(\displaystyle{ x=-5}\)
\(\displaystyle{ f'\left( -5\right)= \frac{604}{576} }\) - \(\displaystyle{ \left( +\right) }\) - funkcja jest rosnąca
Dla przedziału \(\displaystyle{ \left( -2;-1\right)}\) wybrałam liczbę \(\displaystyle{ -1,5}\) - wartość funkcji wyszła dodatnia więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale
itd
funkcja jest rosnąca w przedziałach
\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2\right) \cup \left( 2;-1\right) \cup \left( 1;2\right) \cup \left(2; \infty \right) }\)
runkcja jest malejąca w przedziałach
\(\displaystyle{ \left( 1,0\right) \cup \left( 0,1\right) }\)

oki to jeszcze punkt przegięcia muszę wyznaczyć i sprawdzić wypukłości i wklęsłości funkcji.

Oleszko12 pisze: ↑16 paź 2022, o 13:38 Kurczaki mi asymptota ukośna nie wychodzi:
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)

\(\displaystyle{ a= \lim_{ x \to \pm \infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{ x \to \pm \infty } \frac{x \cdot \left( x^{3}-4x\right) }{x^{2}-1}=...}\)

Serio?

Powinnaś odróżniać dzielenie od mnożenia.

JK

Ja sobie źle wobraziłam ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{ \frac{1}{c} } =ac }\)
Jak zwróciłeś uwagę to zapisałam to za pomocą znaku \(\displaystyle{ :}\) i widzę, że głupotę zrobiłam

\(\displaystyle{ a=1}\)

\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to \pm \infty }\left(f\left( x\right)- ax \right) = \lim_{x \pm \infty \to } \frac{ -\frac{3}{x} }{1- \frac{1}{x ^{2} } } =0 }\)

Asymptota ukośna : y=x

\(\displaystyle{ f''\left( x\right)=- \frac{x\left( x^{3}+4x^{2}+3x+16\right) }{\left( x^{2}-1\right)^{3} } }\)

Wyznaczamy potencjalne punkty przegięcia
\(\displaystyle{ x\left( x^{3}+4x^{2}+3x+16\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+3x+16=0}\)

\(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+3x+16=0}\) podpowiecie jak to zwinąć aby obliczyć ? myślałam o \(\displaystyle{ \left( a-b\right)^{3} }\) tylko nie udało mi się tego pożenić

Oleszko12 pisze: ↑16 paź 2022, o 13:38Monotoniczność funkcji:
Wyszło nam że \(\displaystyle{ f'(x)}\) nie ma miejsc zerowych.
Nieciągłości z dziedziny to \(\displaystyle{ x_{1}=-2,x_{2}=2, x_{1}=0 }\) i mamy jeszcze dwie asymptoty \(\displaystyle{ x=-1}\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\)więc trzeba sprawdzić jak się funkcja zachowuje w przedziałach
\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2\right), \left( -2;-1\right), \left(-1,0 \right), \left( 0,1\right), \left( 0;2\right), \left(2;+ \infty \right) }\)

Że co? Jaka nieciągłość dziedziny w \(\displaystyle{ x_{1}=-2,x_{2}=2, x_{1}=0 }\) ??

Oleszko12 pisze: ↑16 paź 2022, o 13:38 sprawdzam znak dla \(\displaystyle{ f'\left( x_{n}\right) }\)
Dla przedziału :\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2\right),}\) wybrałam \(\displaystyle{ x=-5}\)
\(\displaystyle{ f'\left( -5\right)= \frac{604}{576} }\) - \(\displaystyle{ \left( +\right) }\) - funkcja jest rosnąca
Dla przedziału \(\displaystyle{ \left( -2;-1\right)}\) wybrałam liczbę \(\displaystyle{ -1,5}\) - wartość funkcji wyszła dodatnia więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale
itd
funkcja jest rosnąca w przedziałach
\(\displaystyle{ \left( - \infty ;-2\right) \cup \left( 2;-1\right) \cup \left( 1;2\right) \cup \left(2; \infty \right) }\)
runkcja jest malejąca w przedziałach
\(\displaystyle{ \left( 1,0\right) \cup \left( 0,1\right) }\)

No zupełnie źle.

Pierwsza rada już była: włączyć myślenie. Wtedy można od razu zauważyć, że \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{x^4+x^2+4}{(x^2-1)^2}>0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \{-1,1\}}\) (bo licznik i mianownik są dodatnie).

Po drugie, jak piszesz, że funkcja jest rosnąca w przedziałach, to nie możesz podawać ich SUMY, bo w sumie przedziałów już rosnąca nie jest! Ta funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (-\infty,-1), (-1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\) Z OSOBNA!

Oleszko12 pisze: ↑16 paź 2022, o 14:29 \(\displaystyle{ f''\left( x\right)=- \frac{x\left( x^{3}+4x^{2}+3x+16\right) }{\left( x^{2}-1\right)^{3} } }\)

No nie. Policz drugą pochodną jeszcze raz.

JK

\(\displaystyle{ f''\left( x\right)= \frac{-6x^{3}-18x}{x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1} }\)

\(\displaystyle{ -6x^{3}-18x =0}\)

\(\displaystyle{ x\left( x^{2}+3\right)=0 }\)

\(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}=-3}\)-sprzeczność