Wykres funkcji, asymptota pozioma

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Chrzaszcz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 20 wrz 2022, o 17:37
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: Chrzaszcz »

\(\displaystyle{
\frac{4x^{2}}{x^{2}-2x-3}}\)

Wartość funkcji dąży do \(\displaystyle{ + \infty}\) w miarę zbliżania się x do -1 z lewej strony. Wykres tej własnie części wykresu przecina asymptotę poziomą y=4 i następnie zbliża się do niej od dołu. W jaki sposób można poznać, że wykres tej funkcji musi własnie przeciąć tą asymptotę poziomą i zbliżać się do niej od dołu, a nie od góry? Muszę za każdym razem dodatkowo sprawdzić to czy dla danego x funkcja jest pod czy nad asymptotą?
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 34
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 27 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Można to wywnioskować z badania monotoniczności funkcji. Tutaj sprawa jest prostsza, bo
\(\displaystyle{ \frac{4x^2}{x^2-2x-3}=\frac{4(x^2-2x-3)+8x+12}{x^2-2x-3}=4+\frac1x \cdot\frac{8x^2+12x}{x^2-2x-3}}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{8x^2+12x}{x^2-2x-3}}\) dąży do \(8\) przy \(x\to\pm\infty\), zatem jest dodatnie dla dużych wartości \(|x|\). Znak wyrażenia \(\displaystyle{ \frac1x\cdot\frac{8x^2+12x}{x^2-2x-3}}\) zależy więc od znaku \(\displaystyle{ \frac1x}\). Jest ujemne dla \(x\to-\infty\) i dodatnie dla \(x\to+\infty\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7350
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1574 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{4x^2}{x^2 -2x -3} = \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)} }\)

\(\displaystyle{ D = \RR \setminus \{ -1, 3\}. }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} \left(4 + \frac{8x+12}{x^2-2x-3} \right) = 4 + 0 = 4, }\)
lub
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} \frac{4x^2}{x^2 -2x -3} = \frac{4}{1}= 4, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{-}} f(x) = \lim_{x\to 1^{-}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{4}{0^{+}}\right] = +\infty, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{+}} f(x) = \lim_{x\to 1^{+}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{4}{0^{-}}\right] = -\infty, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3^{-}} f(x) = \lim_{x\to 3^{-}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{9}{0^{-}}\right] = -\infty, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3^{+}} f(x) = \lim_{x\to 3^{+}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{9}{0^{+}}\right] = +\infty, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(4 + \frac{8x+12}{x^2-2x-3} \right) = 4 + 0 = 4. }\)

Wykres funkcji (funkcja) ma asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(\displaystyle{ y = 4 }\) i dwie asymptoty pionowe obustronne \(\displaystyle{ x=-1, \ \ x=3. }\)

Współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji z osiami prostokątnego układu współrzędnych

\(\displaystyle{ Ox :}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{4x^2}{x^2-2x-3} = 0 \rightarrow 4x^2 x = 0 \rightarrow x = 0, \ \ P = (0, 0). }\)

\(\displaystyle{ Oy: }\)

\(\displaystyle{ f(0) = \frac{4\cdot 0^2}{0^2 -2\cdot 0 -3} = \frac{0}{-3} = 0, \ \ P=(0, 0). }\)

Tabelka:
\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & (-\infty,-1)& (-1, \ \ 0) & \{0 \} & (0,\ \ 3) & (3, \ \ \infty) \\ \hline
f(x) & 4 \nearrow +\infty & -\infty \nearrow 0 & 0 & 0 \searrow -\infty & +\infty \searrow 4 \\ \hline \end{tabular} }\)
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 34
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 27 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

janusz47 pisze: 20 wrz 2022, o 20:57 Tabelka:
\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & (-\infty,-1)& (-1, \ \ 0) & \{0 \} & (0,\ \ 3) & (3, \ \ \infty) \\ \hline
f(x) & 4 \nearrow +\infty & -\infty \nearrow 0 & 0 & 0 \searrow -\infty & +\infty \searrow 4 \\ \hline \end{tabular} }\)
Czy z tej tabelki ma wynikać, że funkcja jest rosnąca na przedziale \((-\infty,-1)\)? Chyba właśnie ten temat jest o tym, że tak nie jest.

\(\displaystyle{ f(x)=4+4\cdot\frac{2x+3}{(x+1)(x-3)}=4-\frac1{x+1}+\frac9{x-3}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac1{(x+1)^2}-\frac9{(x-3)^2}}\)

Na przedziale \((-\infty,-3]\) funkcja maleje, a na \([-3,-1)\) rośnie.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 31014
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4930 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: Jan Kraszewski »

janusz47 pisze: 20 wrz 2022, o 20:57\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} \frac{4x^2}{x^2 -2x -3} = \frac{4}{1}= 4, }\)
Ten skrót myślowy jest jednak przesadny.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20466
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3477 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: a4karo »

Analizę, o którą pyta autor wątku, można wykonać prościej. Skoro ustaliliśmy, że `y=4` jest asymptotą poziomą, to wystarczy zauważyć, że dla dużych dodatnich `x` mamy `x^2>x^2-2x-3`, a zatem wartość funkcji jest większa od `4`. Funkcja musi zatem zmierzać do swojej asymptoty od góry.

Z kolei dla dużych ujemnych `x` (a w zasadzie już dla `x<-3/2`) mamy `0<x^2<x^2-2x-3`, więc wartości funkcji są mniejsze od `4`, zatem do asymptoty dążymy od dołu.

Łatwo też widać kiedy wykres funkcji przetnie asymptotę. Stanie się tak wtedy, gdy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{x^2-2x-3}=4}\), czyli w punkcie `x=-3/2`

Jaunsz47, swoim zwyczajem, wyciągnął błędne wnioski nie mając ku temu wystarczających przesłanek.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7350
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1574 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{4x^2}{x^2 -2x -3} = \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)} }\)

\(\displaystyle{ D = \RR \setminus \{ -1, 3\}. }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} \left(4 + \frac{8x+12}{x^2-2x-3} \right) = 4 + 0 = 4,}\)
lub
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} \frac{4x^2}{x^2 -2x -3} = \lim_{x\to -\infty}\frac{x^2\cdot 4}{x^2\left(1+ \frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}\right)} =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to -\infty}\frac{x^2}{x^2}\cdot \lim_{x\to -\infty}\frac{4}{1-\frac{2}{x} -\frac{3}{x^2}} = 1\cdot \frac{4}{1}= 4.}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{-}} f(x) = \lim_{x\to 1^{-}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{4}{0^{+}}\right] = +\infty, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -1^{+}} f(x) = \lim_{x\to 1^{+}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{4}{0^{-}}\right] = -\infty }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3^{-}} f(x) = \lim_{x\to 3^{-}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{9}{0^{-}}\right] = -\infty, }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 3^{+}} f(x) = \lim_{x\to 3^{+}} \frac{4x^2}{(x+1)(x-3)}= \left [ \frac{9}{0^{+}}\right] = +\infty }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left(4 + \frac{8x+12}{x^2-2x-3} \right) = 4 + 0 = 4.}\)


Wykres funkcji (funkcja) ma asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(\displaystyle{ y= 4 }\) i dwie asymptoty pionowe obustronne \(\displaystyle{ x= -1, \ \ x=3.}\)

Współrzędne punktów wspólnych wykresu funkcji z osiami prostokątnego układu współrzędnych:

\(\displaystyle{ Ox:}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{4x^2}{x^2-2x-3} = 0 \rightarrow 4x^2 x = 0 \rightarrow x = 0, \ \ P = (0, 0).}\)

\(\displaystyle{ Oy: }\)

\(\displaystyle{ f(0) = \frac{4\cdot 0^2}{0^2 -2\cdot 0 -3} = \frac{0}{-3} = 0, \ \ P=(0, 0). }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 4\frac{2x(x^2-2x-3)-x^2(2x-2)}{(x^2-2x3)^2} = 4\frac{2x^3b-4x^2-6x -2x^3+2x^2}{(x^2-2x-3)^2} = 4\frac{-2x^2-6x}{(x^2-2x-3)^2}=}\)
\(\displaystyle{ = 8\frac{-x(x+3)}{(x^2-2x -3)^2} }\)

Znak \(\displaystyle{ f'(x) = }\) znak \(\displaystyle{ [-x(x+3)]}\)

Nie przeprowadzamy analizy drugiej pochodej funkcji.

Tabelka
\(\displaystyle{ \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & (-\infty,-3)&\{-3\} & (-3, \ \ -1) & (-1, \ \ 0)& \{0 \} & (0,\ \ 3) & (3, \ \ \infty) \\ \hline
f'(x) & - & 0 & + & + & 0 & - & - \\ \hline
f(x) & 4 \searrow 1 & 1& 1 \nearrow +\infty & -\infty \nearrow 0 & 0 & 0 \searrow -\infty & +\infty\searrow 4 \\ \hline \end{tabular}}\)


Wykres funkcji (funkcja) ma minimum lokalne \(\displaystyle{ f_{min.lok.} = f(-3) = 1}\) i maksimum lokalne \(\displaystyle{ f_{maks.lok.} = f(0)=0 .}\)
Załączniki
Fragment wykresu funkcji.jpg
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20466
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3477 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: a4karo »

To jeszcze napisz która z podanych przez Ciebie wersji rozwiązania jest poprawna, bo jak zwykle nie jesteś łaskaw choćby napomknąć, że popełniłeś błąd. A czytelni najpierw przeczyta to, co było pierwsze.

A poza tym ta analiza nie była tematem pytania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7350
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1574 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: janusz47 »

Tylko ten się nie myli, który nic nie robi i krytykuje.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7350
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 1574 razy

Re: Wykres funkcji, asymptota pozioma

Post autor: janusz47 »

Odpowiedź na zadane pytanie autora zadania w sposób obrazowy można uzyskać przez analizę funkcji i jej pierwszej pochodnej.

Operowanie nierównościami wymaga wprawy i nie jest sposobem najlepszym na zobrazowanie przebiegu funkcji.

Analiza wzoru samej funkcji może doprowadzić do błędu o czym mogłem się przekonać.
ODPOWIEDZ