Matematyka.pl

Wyznaczyć maksimum i minimum wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{|a+b|+ |b+c|+|a+c|}{|a|+ |b|+ |c|} }\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami rzeczywistymi.

Zmieniając znaki liczb na takie same nie zmieniamy mianownika, a możemy zwiększyć licznik. Wtedy wyrażenie przyjmuje maksymalną wartość `2`.
Jeżli jedna z liczb jest zerem, to wyrażenie jest nie mniejsze niż `1`
Przypuśćmy, bez zmniejszania ogólności, że `0<a\le b` są nieujemne.
Gdy `c` zmienia się od zera do `-a` licznik rośnie a mianownik maleje, w przedziale `-b<c<-a` licznik jest stały a wartość wyrażenia maleje od \(\displaystyle{ \frac{2b}{2a+b}}\) do \(\displaystyle{ \frac{2b}{a+2b}}\).
Dla `c<-b` wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ \frac{-2c}{a+b-c}}\) i rośnie do `2` gdy `c->-\infty`.
Najmniejszą wartością wyrażenia jest zatem \(\displaystyle{ \frac{2b}{a+2b}\ge \frac23}\) z równościa dla `a=b=-c`