Trzy pierwiastki
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Trzy pierwiastki
Udowodnić możliwie najprościej, że \(\displaystyle{ \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab} }\) gdy \(\displaystyle{ a, b, c >0}\) i \(\displaystyle{ a >c }\) i \(\displaystyle{ b>c}\) .
-
RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Re: Trzy pierwiastki
\(\displaystyle{ \sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}}\)
podnosimy stronami do kwadratu
\(\displaystyle{ c(a-c)+c(b-c)+2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab }\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab-c(a-c)-c(b-c)}\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab-ca+c^{2}-cb+c^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le a(b-c)-c(b-c)+c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le (a-c)(b-c)+c^{2} }\)
\(\displaystyle{ 0 \le (a-c)(b-c)-2c \sqrt{(a-c)(b-c)}+c ^{2} }\)
\(\displaystyle{ 0 \le \left( \sqrt{(a-c)(b-c)}-c\right) ^{2} }\)
c.k.d.
podnosimy stronami do kwadratu
\(\displaystyle{ c(a-c)+c(b-c)+2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab }\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab-c(a-c)-c(b-c)}\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le ab-ca+c^{2}-cb+c^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le a(b-c)-c(b-c)+c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2c \sqrt{(a-c)(b-c)} \le (a-c)(b-c)+c^{2} }\)
\(\displaystyle{ 0 \le (a-c)(b-c)-2c \sqrt{(a-c)(b-c)}+c ^{2} }\)
\(\displaystyle{ 0 \le \left( \sqrt{(a-c)(b-c)}-c\right) ^{2} }\)
c.k.d.