Suma
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Suma
Jakie wartości całkowite ma wyrażenie \(\displaystyle{ x - \frac{1}{x} + y - \frac{1}{y}}\) , gdy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to liczby wymierne (różne od zera)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Suma
Nie znam odpowiedzi, a intuicja (która jakże często mnie zawiodła !) sugeruje mi, iż problem jest nierozwiązywalny.
Zastanawiałem się dla jakich wymiernych \(\displaystyle{ \frac{a}{b} }\) (gdzie a,b są naturalne, względnie pierwsze i \(\displaystyle{ 3 \le a<b }\)) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{b}{a}- \frac{a}{b} + \frac{-1}{ab} }\) jest naturalne.
Kilka małych \(\displaystyle{ a}\) wyrażenie ma rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{10}{3} \ , \ \frac{17}{4} \ , \ \frac{26}{5} \ , \ \frac{37}{6} \ , \ \frac{50}{7} \ , \ \frac{65}{8} \ , \ \frac{82}{9} \ , \ \frac{101}{10} \ , \ \frac{122}{11} \ , \ \frac{145}{12} \ , \ \frac{170}{13} \ , \ \frac{197}{14} \ , \ \frac{226}{15} \ , \ \frac{256}{16} \ , \ \frac{290}{17} \ , \ ... }\) , czyli dla \(\displaystyle{ \frac{a^2+1}{a} }\) rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \frac{a^2+1}{a}- \frac{a}{a^2+1} + \frac{-1}{a(a^2+1)} =a }\).
Jednak to wyrażenie ma też rozwiązania :\(\displaystyle{ \frac{5}{3} \ , \ \frac{13}{8} \ , \ \frac{29}{12} \ , \ ... }\) dla których nie widzę wyraźnej zależności.
Ponadto wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{b}{a}- \frac{a}{b} + \frac{1}{ab} }\) jest naturalne dla \(\displaystyle{ \frac{8}{5} \ , \ \frac{12}{5} \ , \ \frac{33}{10} \ , \ \frac{21}{13} \ , \ \frac{72}{17} \ , \ ... }\) dla których także nie widzę wyraźnej zależności .
Może ktoś widzi te zależności, albo ma pomysł na inne wyrażenia z całkowitymi rozwiązaniami.
PS
Z góry przepraszam za ewentualne błędy wynikające z moich rachunków na kartce.
Zastanawiałem się dla jakich wymiernych \(\displaystyle{ \frac{a}{b} }\) (gdzie a,b są naturalne, względnie pierwsze i \(\displaystyle{ 3 \le a<b }\)) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{b}{a}- \frac{a}{b} + \frac{-1}{ab} }\) jest naturalne.
Kilka małych \(\displaystyle{ a}\) wyrażenie ma rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{10}{3} \ , \ \frac{17}{4} \ , \ \frac{26}{5} \ , \ \frac{37}{6} \ , \ \frac{50}{7} \ , \ \frac{65}{8} \ , \ \frac{82}{9} \ , \ \frac{101}{10} \ , \ \frac{122}{11} \ , \ \frac{145}{12} \ , \ \frac{170}{13} \ , \ \frac{197}{14} \ , \ \frac{226}{15} \ , \ \frac{256}{16} \ , \ \frac{290}{17} \ , \ ... }\) , czyli dla \(\displaystyle{ \frac{a^2+1}{a} }\) rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \frac{a^2+1}{a}- \frac{a}{a^2+1} + \frac{-1}{a(a^2+1)} =a }\).
Jednak to wyrażenie ma też rozwiązania :\(\displaystyle{ \frac{5}{3} \ , \ \frac{13}{8} \ , \ \frac{29}{12} \ , \ ... }\) dla których nie widzę wyraźnej zależności.
Ponadto wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{b}{a}- \frac{a}{b} + \frac{1}{ab} }\) jest naturalne dla \(\displaystyle{ \frac{8}{5} \ , \ \frac{12}{5} \ , \ \frac{33}{10} \ , \ \frac{21}{13} \ , \ \frac{72}{17} \ , \ ... }\) dla których także nie widzę wyraźnej zależności .
Może ktoś widzi te zależności, albo ma pomysł na inne wyrażenia z całkowitymi rozwiązaniami.
PS
Z góry przepraszam za ewentualne błędy wynikające z moich rachunków na kartce.
-
Hir
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 7 mar 2024, o 21:07
- Płeć: Kobieta
- wiek: 29
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 25 razy
Re: Suma
Trudne się wylosowało
Pomijając pary takie, że \(\displaystyle{ x + y = 0}\) albo \(\displaystyle{ xy = 1}\), mamy:
(to są wszystkie rozwiązania z ograniczeniami na licznik i mianownik <= 30).
Pomijając pary takie, że \(\displaystyle{ x + y = 0}\) albo \(\displaystyle{ xy = 1}\), mamy:
Kod: Zaznacz cały
x = -30, y = -10/3, x-1/x+y-1/y = -33
x = -30, y = 3/10, x-1/x+y-1/y = -33
x = -15, y = -5/3, x-1/x+y-1/y = -16
x = -15, y = 3/5, x-1/x+y-1/y = -16
x = -10, y = -5/2, x-1/x+y-1/y = -12
x = -10, y = 2/5, x-1/x+y-1/y = -12
x = -15/2, y = -5/6, x-1/x+y-1/y = -7
x = -15/2, y = 6/5, x-1/x+y-1/y = -7
x = -20/3, y = -15/4, x-1/x+y-1/y = -10
x = -20/3, y = 4/15, x-1/x+y-1/y = -10
x = -6, y = -2/3, x-1/x+y-1/y = -5
x = -6, y = 3/2, x-1/x+y-1/y = -5
x = -15/4, y = 3/20, x-1/x+y-1/y = -10
x = -5/2, y = 1/10, x-1/x+y-1/y = -12
x = -2, y = -2, x-1/x+y-1/y = -3
x = -2, y = 1/2, x-1/x+y-1/y = -3
x = -5/3, y = 1/15, x-1/x+y-1/y = -16
x = -3/2, y = -1/6, x-1/x+y-1/y = 5
x = -3/2, y = 6, x-1/x+y-1/y = 5
x = -6/5, y = -2/15, x-1/x+y-1/y = 7
x = -6/5, y = 15/2, x-1/x+y-1/y = 7
x = -5/6, y = 2/15, x-1/x+y-1/y = -7
x = -2/3, y = 1/6, x-1/x+y-1/y = -5
x = -3/5, y = -1/15, x-1/x+y-1/y = 16
x = -3/5, y = 15, x-1/x+y-1/y = 16
x = -1/2, y = -1/2, x-1/x+y-1/y = 3
x = -1/2, y = 2, x-1/x+y-1/y = 3
x = -2/5, y = -1/10, x-1/x+y-1/y = 12
x = -2/5, y = 10, x-1/x+y-1/y = 12
x = -4/15, y = -3/20, x-1/x+y-1/y = 10
x = -4/15, y = 20/3, x-1/x+y-1/y = 10
x = -1/6, y = 2/3, x-1/x+y-1/y = 5
x = -3/20, y = 15/4, x-1/x+y-1/y = 10
x = -2/15, y = 5/6, x-1/x+y-1/y = 7
x = -1/10, y = 5/2, x-1/x+y-1/y = 12
x = -1/15, y = 5/3, x-1/x+y-1/y = 16
x = 1/15, y = 3/5, x-1/x+y-1/y = -16
x = 1/10, y = 2/5, x-1/x+y-1/y = -12
x = 2/15, y = 6/5, x-1/x+y-1/y = -7
x = 3/20, y = 4/15, x-1/x+y-1/y = -10
x = 1/6, y = 3/2, x-1/x+y-1/y = -5
x = 1/2, y = 1/2, x-1/x+y-1/y = -3
x = 2/3, y = 6, x-1/x+y-1/y = 5
x = 5/6, y = 15/2, x-1/x+y-1/y = 7
x = 5/3, y = 15, x-1/x+y-1/y = 16
x = 2, y = 2, x-1/x+y-1/y = 3
x = 5/2, y = 10, x-1/x+y-1/y = 12
x = 15/4, y = 20/3, x-1/x+y-1/y = 10