Matematyka.pl

W zadaniu mam podać rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste. Zadanie nietrudne, ale coś się zacięłam.
Mam taki przykład:

\(\displaystyle{ \frac{-x}{x^4-1} }\)

Robię standardowo:

\(\displaystyle{ \frac{-x}{x^4-1} = \frac{-x}{(x^2-1)(x^2+1)}= \frac{-x}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} }\)

\(\displaystyle{ \frac{A(x+1)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} + \frac{B(x-1)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} + \frac{C(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} }\)

Zajmuję się tyko licznikiem:

\(\displaystyle{ A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+C(x+1)(x-1)=-x }\)

\(\displaystyle{ A(x^3+x-x^2-1)+B(x^3+x+x^2+1)+C(x^2-1)=-x }\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3(A+B)=0 \\ x^2(-A+B+C)=0 \\ x(A+B)=-x \\ -A+B-C= 0 \end{cases} }\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0 \\ -A+B+C=0 \\ A+B=-1 \\ -A+B-C= 0 \end{cases} }\)

No i z równania 1go i 3go po podstawieniu wychodzi mi sprzeczność czyli gdy \(\displaystyle{ A=-B }\)
to mam \(\displaystyle{ -B+B=-1 }\)

Czy to oznacza, że nie da się rozłożyć tej funkcji na ułamki?? A może nie zauważyłam, że mam gdzieś błąd?

Ulamek dla `x^2+1` powinien być w postaci \(\displaystyle{ \frac{Cx+D}{x^2+1}}\)

Dodano po 1 minucie 4 sekundach:
A poza tym tę całkę robi się prościej podstawieniem `x^2=t`

a4karo pisze: ↑25 lis 2022, o 19:13 Ulamek dla `x^2+1` powinien być w postaci \(\displaystyle{ \frac{Cx+D}{x^2+1}}\)

Dziękuję bardzo To zmienia postać rzeczy .

a4karo pisze: ↑25 lis 2022, o 19:13 Dodano po 1 minucie 4 sekundach:
A poza tym tę całkę robi się prościej podstawieniem `x^2=t`

Niedługo dojdziemy do całek Na razie robimy rozgrzewkę przed prawdziwą matematyką

Dodano po 29 minutach 23 sekundach:
Poprawka zadania:


\(\displaystyle{ A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-1)=-x }\)

\(\displaystyle{ A(x^3+x-x^2-1)+B(x^3+x+x^2+1)+C(x^3-x)+D(x^2-1)=-x }\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3(A+B+C)=0 \\ x^2(-A+B+D)=0 \\ x(A+B-C)=-x \\ -A+B-D= 0 \end{cases} }\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B+C=0 \\ -A+B+D=0 \\ A+B-C=-1 \\ -A+B-D= 0 \end{cases} }\)

Po zsumowaniu równania 2go i 4go wychodzi mi \(\displaystyle{ -2A+2B=0 }\) czyli \(\displaystyle{ A=B }\)
A po zsumowaniu równania 1go i 3go wychodzi mi \(\displaystyle{ 2A+2B=-1 }\) i otrzymuję, że \(\displaystyle{ A=B= \frac{1}{4} }\)

Dalej po podstawieniach i wyliczeniach mam
\(\displaystyle{ C= -\frac{1}{4} }\) zaś \(\displaystyle{ D= 0 }\)

Otrzymuję następujący wynik :

\(\displaystyle{ \frac{-x}{x^4-1} = - \frac{1}{4(x+1)} - \frac{1}{4(x+1)} + \frac{1}{2(x^2+1)} }\)

Dobrze ??