Matematyka.pl

Mam taką funkcje:

\(\displaystyle{ \frac{n}{n^{4}+n^{2}+1 }}\)

mianownik rozkładam:

\(\displaystyle{ (n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1)}\)

wychodzę więc na:

\(\displaystyle{ \frac{n}{n^{4}+n^{2}+1 }= \frac{An+B}{n^{2}+n+1}+ \frac{Cn+D}{n^{2}-n+1}}\)

i dalej nie jestem pewny co zrobić. Próbowałem kombinować coś z układem równań ale chyba coś pomieszałem. Jakieś wskazówki?

Układ równań to dobry pomysł. Policz dobrze. Alternatywnym sposobem jest podstawienie w miejsce \(\displaystyle{ n}\) czterech wartości liczbowych. Np. dla \(\displaystyle{ n=0}\) mamy \(\displaystyle{ B+D=0}\), dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{A+B}{3}+\frac{C+D}=\frac{1}{3}}\) itd.

Ten przykład ( w szczególności ) prosi o to, aby rozpatrzeć różnicę \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}-n+1} - \frac{1}{n^{2}+n+1}}\) i stąd snuć koncepcje.

rozpisałem sobie to dalej tak:

\(\displaystyle{ n^{3}(A+C)+n^{2}(-A+B+C+D)+n(A-B+C+D)+(B+D)=n}\)

i czy w tym momencie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+C=0 \\ -A+B+C+D=0\\A-B+C+D=0\\B+D=0 \end{cases}}\)
?

No nie. Coś tam powinno być jedynką...