Prosta przecinająca hiperbolę

bestils · Post autor: **bestils** » 17 sty 2018, o 17:27

Prosta o równaniu \(\displaystyle{ y= a ^{2} x+3a}\) przecina hiperbolę o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{4}{x}}\) w dwóch punktach, \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) . Wyraź długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) w zależności od wartości parametru \(\displaystyle{ a<0}\) . Wyznacz równanie prostej, która przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) była najmniejsza.

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 17 sty 2018, o 17:55

Jakieś próby rozwiązania?

bestils · Post autor: **bestils** » 17 sty 2018, o 18:02

Bym podał, ale zdjęć nie można dodawać, więc nie wiem jak dać moje wykresy. Mogę opisać słownie.

-- 17 sty 2018, o 18:21 --

PoweredDragon pisze:Jakieś próby rozwiązania?

Narysowałem hiperbolę. Podstawiłem oba pod równanie doszedłem do \(\displaystyle{ a^{2} x ^{2} +ax-4=0}\) i podstawiłem pod deltę i otrzymałem \(\displaystyle{ a\sqrt{17}}\) i dalej już nie miałem kompletnie pomysłu.

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 17 sty 2018, o 18:37

Obrazki można!:

Nie można natomiast zamiast treści zadania pokazać obrazka

A co do rozwiązania:
Źle przemnożyłeś \(\displaystyle{ 3a}\) i \(\displaystyle{ x}\) . Powinieneś mieć:
\(\displaystyle{ a^2x^2+3ax-4 = 0}\)
Rozwiąż pod \(\displaystyle{ x}\) .

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 17 sty 2018, o 18:37

bestils pisze:Podstawiłem oba pod równanie doszedłem do \(\displaystyle{ a^{2} x ^{2} +\red {ax} \black-4=0}}\)

Tu się rąbnąłeś. Policz jeszcze raz.

bestils · Post autor: **bestils** » 17 sty 2018, o 19:05

Dilectus pisze:
bestils pisze:Podstawiłem oba pod równanie doszedłem do \(\displaystyle{ a^{2} x ^{2} +\red {ax} \black-4=0}}\)
Tu się rąbnąłeś. Policz jeszcze raz.

Faktycznie, ale jestem głupi. Dobra, teraz mam \(\displaystyle{ x1= \frac{-1}{a} x2= \frac{-4}{a}}\) i mam to podstawić pod punkt czy jak?

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 17 sty 2018, o 19:11

Przede wszystkim:
\(\displaystyle{ \Delta = 5a}\) , więc:
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{2a}{2a^2} = \frac{1}{a} \\ x_2 = \frac{-4}{a}}\)
Teraz współrzędne punktu \(\displaystyle{ A = (x_1;y(x_1))}\) i \(\displaystyle{ B = (x_2; y(x_2))}\)
i liczysz długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) .

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 17 sty 2018, o 21:18

bestils pisze:Prosta o równaniu \(\displaystyle{ y= a ^{2} x+3a}\)

Zrób rysunek hiperboli \(\displaystyle{ y= \frac{4}{x}}\) .

Zastanów się, który odcinek łączący oba ramiona hiperboli będzie najkrótszy i napisz równanie prostej zawierającej ten odcinek. Jak łatwo pokazać, będzie to prosta \(\displaystyle{ y=x}\) , co w zadaniu nie może zajść. Zapewne się rąbnąłeś w treści.

bestils · Post autor: **bestils** » 17 sty 2018, o 21:43

Dilectus pisze:
bestils pisze:Prosta o równaniu \(\displaystyle{ y= a ^{2} x+3a}\)
Zrób rysunek hiperboli \(\displaystyle{ y= \frac{4}{x}}\) .

Zastanów się, który odcinek łączący oba ramiona hiperboli będzie najkrótszy i napisz równanie prostej zawierającej ten odcinek. Jak łatwo pokazać, będzie to prosta \(\displaystyle{ y=x}\) , co w zadaniu nie może zajść. Zapewne się rąbnąłeś w treści.

Nie! Sprawdziłem słowo w słowo.

-- 17 sty 2018, o 21:46 --

PoweredDragon pisze:Przede wszystkim:
\(\displaystyle{ \Delta = 5a}\) , więc:
\(\displaystyle{ x_1 = \frac{2a}{2a^2} = \frac{1}{a} \\ x_2 = \frac{-4}{a}}\)
Teraz współrzędne punktu \(\displaystyle{ A = (x_1;y(x_1))}\) i \(\displaystyle{ B = (x_2; y(x_2))}\)
i liczysz długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) .

To wychodzi mi: \(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x _{1}-x _{2}) ^{2} + \frac{25}{a ^{2} } }}\)

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 17 sty 2018, o 22:09

A w jaki sposób u ciebie \(\displaystyle{ y_2 -y_1 = \frac{5}{a}}\) ?

bestils · Post autor: **bestils** » 18 sty 2018, o 06:38

PoweredDragon pisze:A w jaki sposób u ciebie \(\displaystyle{ y_2 -y_1 = \frac{5}{a}}\) ?

No bo \(\displaystyle{ \frac{4}{a} - \frac{-1}{a} = \frac{5}{a}}\)

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 18 sty 2018, o 10:50

Ale \(\displaystyle{ y_2 - y_1 = \frac{4}{\frac{-4}{a}} - \frac{4}{\frac{1}{a}}=...}\)

reznovv · Post autor: **reznovv** » 27 sty 2018, o 20:10

Czyli taka postać jest już Ok? \(\displaystyle{ \left| AB \right|= \sqrt{(x _{2}-x _{1}) ^{2} +25a ^{2}}}\)

A jak się zabrać za drugą część zadania czyli wyznaczania równania najkrótszego odcinka?

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 27 sty 2018, o 21:10

Podstaw za \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) i poszukaj minimum funkcji \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) .

Co zauważasz?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 27 sty 2018, o 21:27

Dilectus pisze:
bestils pisze:Prosta o równaniu \(\displaystyle{ y= a ^{2} x+3a}\)
Zrób rysunek hiperboli \(\displaystyle{ y= \frac{4}{x}}\) .

Zastanów się, który odcinek łączący oba ramiona hiperboli będzie najkrótszy i napisz równanie prostej zawierającej ten odcinek. Jak łatwo pokazać, będzie to prosta \(\displaystyle{ y=x}\) , co w zadaniu nie może zajść. Zapewne się rąbnąłeś w treści.

Wygląda na to, że nie zrozumiałeś o co chodzi w zadaniu.