Matematyka.pl

Hmm, czyli długość odcinka to \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{25}{a ^{2} } + 25a ^{2}} = 5 \sqrt{a ^{2} + \frac{1}{a ^{2}} }}\) ?

Minimum funkcji można tylko znaleźć za pomocą pochodnych?

Teoretycznie to możesz pokazać to pochodną – wystarczy znaleźć minimum funkcji podpierwiastkowej, bo funkcja \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) jest monotoniczna
\(\displaystyle{ f(a) = a^2+\frac{1}{a^2}}\)
\(\displaystyle{ f'(a)=2a-\frac{2}{a^3}}\)
No i kiedy ona się zeruje?
\(\displaystyle{ 2a^4-2 = 0}\)

Ale lepiej chyba skorzystać ze znanej nierówności (udowodnij ją!):

\(\displaystyle{ t + \frac{1}{t} \ge 2}\) dla każdego \(\displaystyle{ t > 0}\) .

Czyli równość jest spełniona dla a=1 i a=-1, ale w treści zadania a<0 więc najkrótszą prostą będzie:
\(\displaystyle{ y = x - 3}\)



\(\displaystyle{ t + \frac{1}{t} -2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} -2t + 1 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (t-1) ^{2} \ge 0}\)

No tak też wychodzi dużo prościej, własnie przestraszyłem się jak chciałem policzyć pochodną z pierwiastkiem ułamkiem i liczbą przed Dziękuje!