Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{x+y}=y^{12} \\ y^{x+y}= x^3 \end{cases} }\)
w zbiorze liczb dodatnich
Potęgi i układ
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11421
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Potęgi i układ
Jeżeli jedna ze zmiennych jest równa `1`, to druga też, więc mamy jedną parę rozwiązań `(x,y)=(1,1)`
Jeżeli natomiast `y\ne 1`, to \(\displaystyle{ y^{x+y}=\left(x^{x+y}\right)^{\frac{3}{x+y}}=y^{\frac{36}{x+y}}}\)
i stąd \(\displaystyle{ x+y=6}\) i dalej `x=y^2`, a więc `y^2+y=6`, co daje drugą parę `(x,y)=(4,2)`
Jeżeli natomiast `y\ne 1`, to \(\displaystyle{ y^{x+y}=\left(x^{x+y}\right)^{\frac{3}{x+y}}=y^{\frac{36}{x+y}}}\)
i stąd \(\displaystyle{ x+y=6}\) i dalej `x=y^2`, a więc `y^2+y=6`, co daje drugą parę `(x,y)=(4,2)`