Pierwiatek

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Pierwiatek

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ \sqrt[4]{17 - x^2 }= 3- \sqrt{x} }\)
Dynia5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Pierwiatek

Post autor: Dynia5 »

\(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=\red{-64+108 \sqrt{x}-54x+12x^ \frac{3}{2} -2x^2}}\)
\(\displaystyle{ t= \sqrt{x},}\) \(\displaystyle{ \red{(-2t^4+12t^3-54t^2+108t-64)}=0}\)
\(\displaystyle{ (t-2)(t-1)(t^2-3t+16)=0}\)
\(\displaystyle{ t=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=4, x=1}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pierwiatek

Post autor: Jan Kraszewski »

Dynia5 pisze: 6 cze 2023, o 12:03 \(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=0}\)
\(\displaystyle{ 17-(3- \sqrt{x})^4-x^2=\red{-64+108 \sqrt{x}-54x+12x^ \frac{3}{2} -2x^2}}\)
\(\displaystyle{ t= \sqrt{x},}\) \(\displaystyle{ \red{(-2t^4+12t^3-54t^2+108t-64)}=0}\)
\(\displaystyle{ (t-2)(t-1)(t^2-3t+16)=0}\)
\(\displaystyle{ t=2, t=1}\)
\(\displaystyle{ x=4, x=1}\)
No ale to rozwiązanie jest niepoprawne (czy może raczej nie do końca poprawne). Sprawdziłeś, czy otrzymane pierwiastki równania faktycznie spełniają równanie mola?

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Pierwiatek

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \sqrt{x} = t, \ \ t\geq 0.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{17 -t^4} = 3-t, \ \ }\)

\(\displaystyle{ 17-t^4\geq 0 \wedge 3-t\geq 0.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{17 -t^4} = 3-t, \ \| ^{4} }\)

\(\displaystyle{ 17 - t^4 = (3-t)^4,}\)

\(\displaystyle{ 17 -t^4 = (9-6t +t^2)^2 = 81 -108t +36t^2 +18t^2 -12 t^3 +t^4}\)

\(\displaystyle{ 2t^4 -12t^3 +54t^2 -108t +64 =0 \ \ | \cdot \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ t^4 -6t^3 +27t^2 -54t +32=0, \ \ t=1, \ \ t=2. }\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{x}= 1 \vee \sqrt{x}= 2) \rightarrow (x_{1}=1 \vee x_{2} = 4).}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pierwiatek

Post autor: Jan Kraszewski »

Jan Kraszewski pisze: 6 cze 2023, o 14:16No ale to rozwiązanie jest niepoprawne (czy może raczej nie do końca poprawne). Sprawdziłeś, czy otrzymane pierwiastki równania faktycznie spełniają równanie mola?
A przepraszam, dokonałem samooszukania. To jednak dobre rozwiązanie.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Pierwiatek

Post autor: a4karo »

A bez liczenia robi się to zadanie tak:
Wstawiamy `t=\sqrt x` i zapisujemy równanie w postaci
`1+2^4=(3-t)^4+t^4`

Prawa strona jest funkcją ściśle wypukłą zmiennej `t`, więc ustaloną wartość przyjmować może co najwyżej dwa razy. A na oko widać, że dla `t=1` i dla `t=2` mamy równość.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Pierwiatek

Post autor: mol_ksiazkowy »

Inna metoda z przejściem na układ równań:
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 6 cze 2023, o 19:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ