Matematyka.pl

Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+2}+ \frac{1}{x+12}+ \frac{1}{x+14} = \frac{1}{x+4}+ \frac{1}{x+6}+ \frac{1}{x+8}+ \frac{1}{x+10}}\)

Krok 1: podstawiamy `x=y-7`

\(\displaystyle{ \frac1{y-7}+\frac1{y-5}+\frac1{y+5}+\frac1{y+7}=\frac1{y-3}+\frac1{y-1}+\frac1{y+1}+\frac1{y+3}}\)
Krok 2: plusy na jedną stronę, minusy na drugą

\(\displaystyle{ \frac1{y-7}+\frac1{y-5}-\frac1{y-3}-\frac1{y-1}=\frac1{y+1}+\frac1{y+3}-\frac1{y-5}-\frac1{y-7}}\)

Krok 3: grupujemy 1 z 7, 3 z 5
\(\displaystyle{ \frac6{(y-1)(y-7)}+\frac2{(y-3)(y-5)}=\frac6{(y+1)(y+7)}+\frac2{(y+3)(y+5)}}\)

Krok 4: szóstki na jedną stronę, dwójki na drugą
\(\displaystyle{ \frac{96y}{(y^2-1)(y^2-49)}=\frac{-32y}{(y^2-9)(y^2-25)}}\)

A to już się banalnie rozwiązuje

Albo, dla dobrze określonych \(x\), równanie jest równoważne
\[ \left(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x+14}\right)+ \left( \dfrac{1}{x+2}+ \dfrac{1}{x+12}\right) = \left(\dfrac{1}{x+4}+ \dfrac{1}{x+10}\right)+ \left( \dfrac{1}{x+6}+ \dfrac{1}{x+8}\right)\\
\dfrac{2x+14}{x^2+14x}+\dfrac{2x+14}{x^2+14x+24}=\dfrac{2x+14}{x^2+14x+40}+\dfrac{2x+14}{x^2+14x+48}\\
2x+14=0\vee \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t+24}=\dfrac{1}{t+40}+\dfrac{1}{t+48}\\
x=-7\vee \dfrac{40}{t(t+40)}=\dfrac{-24}{(t+48)(t+24)}\]
gdzie \(t=x^2+14x\)

Pozdrawiam