Odwrotność i suma

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Odwrotność i suma

Post autor: mol_ksiazkowy »

Jakie funkcje \(\displaystyle{ f}\) mają tę własność, że jeśli \(\displaystyle{ f(x) = f\left( \frac{1}{x} \right),}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ t= x+ \frac{1}{x} }\) ?
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2022, o 12:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Odwrotność i suma

Post autor: matmatmm »

1. Jaka jest dziedzina \(\displaystyle{ f}\)?

Po drugie, czy zadanie jest na pewno dobrze przepisane? Jeśli dobrze rozumiem tutaj kolejność kwantyfikatorów, to takich funkcji jest całe mnóstwo. wystarczy, żeby \(\displaystyle{ f(x)\neq f\left( \frac 1x\right) }\) dla przynajmniej jednego \(\displaystyle{ x}\) albo żeby \(\displaystyle{ f}\) było funkcją zmiennej \(\displaystyle{ t=x+\frac 1x}\). Ciężko o jakiś sensowny warunek inny niż treść zadania.

Dodano po 23 minutach 44 sekundach:
Okej chyba coś mam. Twierdzę, że każda funkcja \(\displaystyle{ f}\) (z odpowiednią dziedziną) jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ t=x+\frac 1x}\). Definiujemy mianowicie funkcję \(\displaystyle{ g}\) wzorem

\(\displaystyle{ g(x)=f\left( \frac 12\left( x+\sqrt{x^2-4}\right) \right) }\).

Wtedy \(\displaystyle{ f(x)=g\left(x+\frac 1x \right) }\).

Równie dobrze można zdefiniować wzorem

\(\displaystyle{ g(x)=f\left( \frac 12\left( x-\sqrt{x^2-4}\right) \right) }\), a oprócz tego

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac 12\left( x-\sqrt{x^2-4}\right) }= \frac 12\left( x+\sqrt{x^2-4}\right)}\).

To sugeruje jakiś związek z zadaniem, które najprawdopodobniej ma błędną treść.

Dodano po 18 minutach 14 sekundach:
Chyba jednak nie ma błędu w zadaniu, a dziedzina \(\displaystyle{ f}\) ma tutaj kluczowe znaczenie.

Funkcja \(\displaystyle{ g}\) musi spełniać obie zależności

\(\displaystyle{ g(x)=f\left( \frac 12\left( x-\sqrt{x^2-4}\right) \right) }\)
\(\displaystyle{ g(x)=f\left( \frac 12\left( x+\sqrt{x^2-4}\right) \right) }\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x\geq 2}\).

Ale jeśli \(\displaystyle{ f(x)=f\left( \frac 1x\right) }\), to tak jest.

Wniosek: wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:(0,\infty)\rightarrow\RR}\) mają szukaną własność.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Odwrotność i suma

Post autor: arek1357 »

No dobrze a funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)=|\ln x |}\)

Nie bardzo rozumiem tego toku rozumowania...

Jak również treść zadania jest dziwna...
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Odwrotność i suma

Post autor: Dasio11 »

Dla mnie treść zadania również jest niejasna, ale problem wydaje się nieszczególną odsłoną klasycznego faktu:

Niech \(\displaystyle{ f : X \to Z, g : X \to Y}\), przy czym \(\displaystyle{ Z \neq \varnothing}\). Następujące warunki są równoważne:

(i) Istnieje funkcja \(\displaystyle{ h : Y \to Z}\), taka że \(\displaystyle{ f = h \circ g}\).

(ii) Dla dowolnych \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in X}\), jeśli \(\displaystyle{ g(x_1) = g(x_2)}\), to \(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2)}\).

Tezę zadania (o ile ją dobrze rozumiem) można uzyskać biorąc \(\displaystyle{ g(x) = x+\frac{1}{x}}\) i odpowiednio dobierając \(\displaystyle{ X, Y, Z}\). Wówczas spełniony jest warunek (ii), bo nietrudno odczytać z wykresu (bądź wyliczyć algebraicznie), że \(\displaystyle{ g(x_1) = g(x_2) \iff x_1 = x_2 \vee x_1 = \frac{1}{x_2}}\), zatem z założenia implikuje to \(\displaystyle{ f(x_1) = f(x_2)}\). Stąd z warunku (i) \(\displaystyle{ f(x) = h \left( x+\frac{1}{x} \right)}\), czyli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją zmiennej \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}}\).
ODPOWIEDZ