Matematyka.pl

Liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są parami różne. Ile rozwiązań ma równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-a}+ \frac{1}{x-b}+ \frac{1}{x-c}=0 }\)

No to tutaj zrobiłem tak, że przemnożyłem równanie przez mianowniki, uprościłem i dostałem równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ 3x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc=0}\)
No i policzyłem deltę z tego, ale za nic nie wiem jak określić znak tej delty.

Może mi ktoś pomóc?

To zrobiłeś kupę zupełnie niepotrzebnej roboty.
Pomyśl jak wygląda wykres lewej strony

No to będzie suma trzech hiperbol. Narysowałem w jednym układzie osobno każdą z tych hiperbol, ale nie wiem za bardzo jak będzie wyglądać ich suma?

No to może spróbuj zbadać tę funkcję. (Liceum???)

a4karo, nie rozumiem twojej wskazówki. Ja policzyłem tę deltę.

Jak położyłeś delte, to wiesz że jest dodatnia.
Słyszałeś coś o asymptorach pionowych i o granicy funkcji?

To ja też wolę to z tą deltą zrobić jednak:
\(\displaystyle{ \Delta=4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =2(a^2+b^2+c^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)>0}\)
Czyli zawsze delta jest dodatnia czyli równanie zawsze ma dwa rozwiązania, zgadza się?

Pod warunkiem, że zrobisz to poprawnie.
Dla `a=b=c=1` wyrażenie w pierwszej linijce jest zerem, a w ostatniej jest równe `6`

Ok, racja, powinno być:
\(\displaystyle{ 4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =2(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2)=}\)
\(\displaystyle{ =2((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)>0}\)
No teraz jest chyba dobrze?

Dodano po 10 godzinach 32 minutach 42 sekundach:
Dobrze jest?

Sprawdź sobie.

JK

Ok, myślę, że jest dobrze, ale czy nie trzeba jeszcze sprawdzać, że rozwiązania są różne od \(\displaystyle{ a,b,c}\), które są wyrzucone z dziedziny?

Trzeba

Dodano po 35 minutach 11 sekundach:
Tylko czy tak nie będzie prościej:
Załóżmy, że `a<b<c`
Każda z trzech funkcji, których sumę badamy jest ściśle malejąca na każdym przedziale w swojej dziedzinie, zatem ich suma (nazwijmy ją `f`) jest ściśle malejąca w każdym z przedziałów `(-\infty,a),\ (a,b),\ (b,c),\ (c,\infty)`. Ponadto
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} f(x)=0,\ \lim_{x\to a-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to b-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to b+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to c-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to c+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to \infty} f(x)=0}\)
Stąd wniosek, że funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe w każdym z przedziałów `(a,b)` i `(b,c)`.


Inne rozwiązanie może być takie:
Niech `P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)`. Poniewaź `P` zeruje się w `a,\ b,\ c`, jego pochodna ma dwa miejsca zerowe - po jednym w przedziale `(a,b)` i (b,c)`. Więcej ich mieć nie może (dlaczego?). Te dwa miejsca zerowe są zatem jedynymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ \frac{P'(x)}{P(x)}=0}\).
Ale \(\displaystyle{ \frac{P'(x)}{P(x)}=\frac1{x-a}+\frac1{x-b}+\frac1{x-c}}\).