Liczby a,b,c są parami różne
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Liczby a,b,c są parami różne
Liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są parami różne. Ile rozwiązań ma równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-a}+ \frac{1}{x-b}+ \frac{1}{x-c}=0 }\)
No to tutaj zrobiłem tak, że przemnożyłem równanie przez mianowniki, uprościłem i dostałem równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ 3x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc=0}\)
No i policzyłem deltę z tego, ale za nic nie wiem jak określić znak tej delty.
Może mi ktoś pomóc?
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-a}+ \frac{1}{x-b}+ \frac{1}{x-c}=0 }\)
No to tutaj zrobiłem tak, że przemnożyłem równanie przez mianowniki, uprościłem i dostałem równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ 3x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc=0}\)
No i policzyłem deltę z tego, ale za nic nie wiem jak określić znak tej delty.
Może mi ktoś pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Liczby a,b,c są parami różne
No to będzie suma trzech hiperbol. Narysowałem w jednym układzie osobno każdą z tych hiperbol, ale nie wiem za bardzo jak będzie wyglądać ich suma?
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Liczby a,b,c są parami różne
To ja też wolę to z tą deltą zrobić jednak:
\(\displaystyle{ \Delta=4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =2(a^2+b^2+c^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)>0}\)
Czyli zawsze delta jest dodatnia czyli równanie zawsze ma dwa rozwiązania, zgadza się?
\(\displaystyle{ \Delta=4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =2(a^2+b^2+c^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)>0}\)
Czyli zawsze delta jest dodatnia czyli równanie zawsze ma dwa rozwiązania, zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Liczby a,b,c są parami różne
Pod warunkiem, że zrobisz to poprawnie.
Dla `a=b=c=1` wyrażenie w pierwszej linijce jest zerem, a w ostatniej jest równe `6`
Dla `a=b=c=1` wyrażenie w pierwszej linijce jest zerem, a w ostatniej jest równe `6`
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Liczby a,b,c są parami różne
Ok, racja, powinno być:
\(\displaystyle{ 4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =2(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2)=}\)
\(\displaystyle{ =2((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)>0}\)
No teraz jest chyba dobrze?
Dodano po 10 godzinach 32 minutach 42 sekundach:
Dobrze jest?
\(\displaystyle{ 4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+ac+bc)=}\)
\(\displaystyle{ =2(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2)=}\)
\(\displaystyle{ =2((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)>0}\)
No teraz jest chyba dobrze?
Dodano po 10 godzinach 32 minutach 42 sekundach:
Dobrze jest?
-
- Administrator
- Posty: 34284
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Liczby a,b,c są parami różne
Ok, myślę, że jest dobrze, ale czy nie trzeba jeszcze sprawdzać, że rozwiązania są różne od \(\displaystyle{ a,b,c}\), które są wyrzucone z dziedziny?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Liczby a,b,c są parami różne
Trzeba
Dodano po 35 minutach 11 sekundach:
Tylko czy tak nie będzie prościej:
Załóżmy, że `a<b<c`
Każda z trzech funkcji, których sumę badamy jest ściśle malejąca na każdym przedziale w swojej dziedzinie, zatem ich suma (nazwijmy ją `f`) jest ściśle malejąca w każdym z przedziałów `(-\infty,a),\ (a,b),\ (b,c),\ (c,\infty)`. Ponadto
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} f(x)=0,\ \lim_{x\to a-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to b-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to b+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to c-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to c+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to \infty} f(x)=0}\)
Stąd wniosek, że funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe w każdym z przedziałów `(a,b)` i `(b,c)`.
Inne rozwiązanie może być takie:
Niech `P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)`. Poniewaź `P` zeruje się w `a,\ b,\ c`, jego pochodna ma dwa miejsca zerowe - po jednym w przedziale `(a,b)` i (b,c)`. Więcej ich mieć nie może (dlaczego?). Te dwa miejsca zerowe są zatem jedynymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ \frac{P'(x)}{P(x)}=0}\).
Ale \(\displaystyle{ \frac{P'(x)}{P(x)}=\frac1{x-a}+\frac1{x-b}+\frac1{x-c}}\).
Dodano po 35 minutach 11 sekundach:
Tylko czy tak nie będzie prościej:
Załóżmy, że `a<b<c`
Każda z trzech funkcji, których sumę badamy jest ściśle malejąca na każdym przedziale w swojej dziedzinie, zatem ich suma (nazwijmy ją `f`) jest ściśle malejąca w każdym z przedziałów `(-\infty,a),\ (a,b),\ (b,c),\ (c,\infty)`. Ponadto
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-\infty} f(x)=0,\ \lim_{x\to a-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to b-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to b+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to c-} f(x)=-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to c+} f(x)=\infty,\ \lim_{x\to \infty} f(x)=0}\)
Stąd wniosek, że funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe w każdym z przedziałów `(a,b)` i `(b,c)`.
Inne rozwiązanie może być takie:
Niech `P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)`. Poniewaź `P` zeruje się w `a,\ b,\ c`, jego pochodna ma dwa miejsca zerowe - po jednym w przedziale `(a,b)` i (b,c)`. Więcej ich mieć nie może (dlaczego?). Te dwa miejsca zerowe są zatem jedynymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ \frac{P'(x)}{P(x)}=0}\).
Ale \(\displaystyle{ \frac{P'(x)}{P(x)}=\frac1{x-a}+\frac1{x-b}+\frac1{x-c}}\).