Matematyka.pl

Wyznacz \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ \sqrt{ x - \frac{1}{x}} + \sqrt{ 1 - \frac{1}{x}} =x.}\)

Najpierw wyznacz dziedzinę potem dodaj do siebie te dwa kawałki z lewej strony a następnie podnieś stronami do kwadratu.

gauss2718 pisze: ↑22 maja 2023, o 12:22 Najpierw wyznacz dziedzinę potem dodaj do siebie te dwa kawałki z lewej strony a następnie podnieś stronami do kwadratu.

Charakterystyczne dla (większości) pytań mola książkowego jest to, że są to zadania dla użytkowników forum, a nie zadania, z którymi ma problemy i chce pomocy.

JK

gauss2718 pisze: ↑22 maja 2023, o 12:22 Najpierw wyznacz dziedzinę potem dodaj do siebie te dwa kawałki z lewej strony a następnie podnieś stronami do kwadratu.

Ciekawe jak się dodaje do siebie te dwa kawałki z lewej strony

Całkiem na skróty...

Dziedzina to:

\(\displaystyle{ x \in \left\langle-1;0 \right ) \cup \left\langle1; \infty \right )}\)

Po całkowitym skróceniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x^3-x^2-x+1} =x^3-x^2-x+2}\)

\(\displaystyle{ x^3-x^2-x+1=t}\)

\(\displaystyle{ 2\sqrt{t} =t+1}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ t=1}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ x(x^2-x-1)=0}\)

Co ze względu na dziedzinę da rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x= \frac{1+ \sqrt{5} }{2} }\)



Czyli wyszła złota liczba...

jak się dodaje do siebie te dwa kawałki z lewej strony

być może z \(\displaystyle{ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+ 2 \sqrt{ab} +b} }\)

Raczej nie.
Dla liczb wymiernych \(\displaystyle{ (a,b,x,y)}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \\
\sqrt{(x + y) + 2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}}\)