Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ -5\leq \frac{x^2+ax+b}{x^2+2x+3}\leq 4}\) oraz \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{N}}\)

to wtedy \(\displaystyle{ a^2+b^2 =}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ x ^{2} +2x+3>0 \ \ dla x \in \mathbb{R}}\) (choćby dlatego, że \(\displaystyle{ x^{2}+2x+3=(x+1) ^{2}+2)}\)
Rozbijasz więc na dwie nierówności, w obu przypadkach mnożysz stronami przez \(\displaystyle{ x ^{2} +2x+3}\) i patrzysz, dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) te nierówności są jednocześnie spełnione dla każdego \(\displaystyle{ x}\) (warunki są chyba dość intuicyjne). Przynajmniej tak bym do tego podszedł, może ktoś wymyśli coś lepszego.
EDIT: miałem na myśli "dla każdego x rzeczywistego".
EDIT2: Jeśli wychodzi coś brzydkiego, wstaw najpierw \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=-1}\) (dla tego drugiego argumentu wartość funkcji z mianownika jest minimalna), powinieneś dostać jakieś sensowne warunki.

Nie powinno być dodatkowego warunku, że \(\displaystyle{ f_{min}=-5 \wedge f_{max}=4}\), jeśli \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{2}+ax+b}{x^2+2x+3}}\)?