Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ f:(0,\infty) \rightarrow \RR}\) dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{1+x} }\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ f}\) ma funkcję odwrotną i wyznacz ją.

Jak pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) ma funkcję odwrotną?

max123321 pisze: ↑10 gru 2022, o 00:20Jak pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) ma funkcję odwrotną?

Sprawdzić, że jest bijekcją.

JK

No, ale mi się wydaje, że ta funkcja nie jest "na" zbiór \(\displaystyle{ \RR}\), bo jak \(\displaystyle{ y=1}\), to otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 1= \frac{x}{1+x} }\), a to z kolei oznacza, że \(\displaystyle{ 1=0}\), czyli sprzeczność, czyli nie istnieje taki \(\displaystyle{ x \in (0,\infty)}\), że \(\displaystyle{ f(x)=1}\), a \(\displaystyle{ 1 \in \RR}\). Dobrze myślę? Co powiesz?

Powiem, że zapewne inaczej jest definiowana funkcja odwrotna.

Jak nietrudno zauważyć, zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ (0,1)}\), zatem istotnie nie jest to funkcja "na" (czyli nie ma odwrotnej). Jest to jednak funkcja różnowartościowa, więc jeśli uznamy, że funkcje różnowartościowe można odwracać na ich obrazie, to do funkcji \(\displaystyle{ f:(0,+\infty)\to(0,1)}\) istnieje funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}:(0,1)\to(0,+\infty),}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}.}\)

JK

A jak jest definiowana według Ciebie funkcja odwrotna?

Ok, a jak w takim razie wykazać, że zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ (0,1)}\)?

max123321 pisze: ↑10 gru 2022, o 22:41 A jak jest definiowana według Ciebie funkcja odwrotna?

Ja używam definicji, w której odwracana funkcja ma ustaloną przeciwdziedzinę (której nie można zmieniać) i musi być bijekcją pomiędzy dziedziną i przeciwdziedziną. Czasem zdarza się podejście, które a4karo nazywa bardziej elastycznym, pozwalające na odwracanie funkcji różnowartościowej na jej zbiorze wartości.

max123321 pisze: ↑10 gru 2022, o 22:41 Ok, a jak w takim razie wykazać, że zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ (0,1)}\)?

Policzyć, przecież to zwykła funkcja homograficzna.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑10 gru 2022, o 22:55
Policzyć, przecież to zwykła funkcja homograficzna.

JK

No ok, ale jak policzyć? W sensie z czego wychodzisz? Powiedz mi jak zacząć.

Zacznij coś sam próbować, a nie przy każdym zadaniu pytasz się, od czego zacząć.

JK

Znaczy ja nie wiem jak Ty to wyliczasz. Ja to jedyne co umiem zrobić, to to:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1+x-1}{x+1}=1+ \frac{-1}{x+1} }\)
No i teraz rysuje wykres, asymptoty to \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ y=1}\)
No i teraz sprawdzam wartość funkcji dla \(\displaystyle{ x=0}\) to jest \(\displaystyle{ f(0)=0}\) no i dla \(\displaystyle{ x>0}\) rysuje fragment hiperboli w przedziale \(\displaystyle{ x \in (0,\infty)}\) , no i z tego rysunku widać, że zbiór wartości to \(\displaystyle{ (0,1)}\). No, ale to jest takie że to z rysunku widać, to mi się trochę nie podoba. A Ty jak wyliczasz ten zbiór wartości?

Dodano po 4 godzinach 57 sekundach:
Albo inaczej, jak wykazać, że ta funkcja jest na zbiór \(\displaystyle{ (0,1)}\)?

Przekształć równanie \(\displaystyle{ y=\frac{x}{1+x}}\) tak, żeby wyliczyć z niego \(\displaystyle{ x}\).

No dobra, ale ten dowód na suriekcję może tak wyglądać? :
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\) i mamy:
\(\displaystyle{ y= \frac{x}{x+1} }\)
\(\displaystyle{ yx+y=x}\)
\(\displaystyle{ y=x(1-y)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{y}{1-y} }\)
i teraz skoro \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\) to \(\displaystyle{ x}\) jest dobrze określony i większy od zera bo zarówno licznik i mianownik są większe od zera, czyli \(\displaystyle{ x \in (0,\infty)}\) czyli do dziedziny.
I już? To wystarcza?

A dlaczego Cię to dziwi?

JK

PS
Oczywiście powinieneś wiedzieć/sprawdzić, że dla tak wyznaczonego \(\displaystyle{ x}\) masz \(\displaystyle{ f(x)=y.}\)

Dziwi mnie to bo skąd niby wiem z tego dowodu, że ten przedział nie będzie większy niż \(\displaystyle{ (0,1)}\)? Np. skąd wiem, że ten zbiór wartości nie będzie równy \(\displaystyle{ (0,1) \cup (3,4)}\)? Nie trzeba tego jakoś oddzielnie pokazywać?

Może dlatego, że funkcja jest ciągła, więc obraz półprostej nie może mieć dziur??
Albo dlatego, że funkcja jest rosnąca?
Albo dlatego, że jest homografią?

Czy można wiedziec jaki jest twój stopień zaawansowania matematycznego? Szkołą, studiu, kierunek, rok?

Pytam, bo w naszych wskazówkach odwołujemy się do rzeczy, które powinny być oczywiste dla studenta pierwszego roku, a Tobie te techniki i fakty sprawiają elementarne kłopot

max123321 pisze: ↑11 gru 2022, o 21:02 Dziwi mnie to bo skąd niby wiem z tego dowodu, że ten przedział nie będzie większy niż \(\displaystyle{ (0,1)}\)?

Bo od razu zauważyłeś, że skoro \(\displaystyle{ 0<x<1+x}\), to \(\displaystyle{ 0<\frac{x}{1+x}<1}\).

JK