Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{4^x+2} }\). Oblicz
\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2001}\right) + f\left( \frac{2}{2001}\right)+...+f\left( \frac{2000}{2001}\right). }\)
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Funkcja f dana jest wzorem 2
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Funkcja f dana jest wzorem 2
Ostatnio zmieniony 10 gru 2022, o 01:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Funkcja f dana jest wzorem 2
Ogólnie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_{k,n}= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}a_{k,n}+ a_{n-k+1,n}. }\)
Kładziemy \(\displaystyle{ a_{k,n}= \frac{2}{4^{k/(n+1)}+2} }\) i koniec.-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Funkcja f dana jest wzorem 2
Znaczy nie do końca rozumiem twoją wskazówkę, ale naprowadziło mnie to na sumowanie skrajnych wyrazów. Proponuje takie rozwiązanie:
Najpierw zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ k \in \left\{ 1,2,3,...,1000\right\} }\) mamy:
\(\displaystyle{ f( \frac{k}{n})+f( \frac{n-k}{n})=1 }\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \frac{2}{4^{ \frac{k}{n}}+2 } + \frac{2}{4^{ \frac{n-k}{n}}+2 }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2 \cdot 4^{ \frac{n-k}{n}} +4+2 \cdot 4^{ \frac{k}{n}}+4 }{4+2 \cdot 4^{ \frac{n-k}{n} }+2 \cdot 4^{ \frac{k}{n} }+4}=1 }\)
No zatem teraz mamy:
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{2001})+f( \frac{2}{2001})+...+f( \frac{2000}{2001})= \sum_{k=1}^{1000}f( \frac{k}{2001})+f( \frac{2001-k}{2001} )= \sum_{k=1}^{1000}1=1000 }\).
Czy takie rozwiązanie jest poprawne?
Najpierw zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ k \in \left\{ 1,2,3,...,1000\right\} }\) mamy:
\(\displaystyle{ f( \frac{k}{n})+f( \frac{n-k}{n})=1 }\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \frac{2}{4^{ \frac{k}{n}}+2 } + \frac{2}{4^{ \frac{n-k}{n}}+2 }=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{2 \cdot 4^{ \frac{n-k}{n}} +4+2 \cdot 4^{ \frac{k}{n}}+4 }{4+2 \cdot 4^{ \frac{n-k}{n} }+2 \cdot 4^{ \frac{k}{n} }+4}=1 }\)
No zatem teraz mamy:
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{2001})+f( \frac{2}{2001})+...+f( \frac{2000}{2001})= \sum_{k=1}^{1000}f( \frac{k}{2001})+f( \frac{2001-k}{2001} )= \sum_{k=1}^{1000}1=1000 }\).
Czy takie rozwiązanie jest poprawne?
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Funkcja f dana jest wzorem 2
Mam na myśli te czerwone nawiasy:
więc, gdy o całki chodzi to jestem zwolennikiem pierwszej konwencji. A jak pisałem pierwszy post tu to myślałem o \(\displaystyle{ \sum_{}^{} }\) jak o \(\displaystyle{ \int_{}^{} }\). I dlatego nie postawiłem nawiasów bo zapomniałem, że to przecież tu tak nie działa.
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} g(x)\, \dd x = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} g(x) + g(a+b-x)\, \dd x \quad \text{vs.} \quad \int_{a}^{b} g(x)\, \dd x = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} \red{\big(}g(x) + g(a+b-x)\red{\big)}\, \dd x }\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_{k,n}= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}a_{k,n}+ a_{n-k+1,n} \quad \text{vs.} \quad \sum_{k=1}^{n}a_{k,n}= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\red{\big (}a_{k,n}+ a_{n-k+1,n}\red{\big )} }\)
więc, gdy o całki chodzi to jestem zwolennikiem pierwszej konwencji. A jak pisałem pierwszy post tu to myślałem o \(\displaystyle{ \sum_{}^{} }\) jak o \(\displaystyle{ \int_{}^{} }\). I dlatego nie postawiłem nawiasów bo zapomniałem, że to przecież tu tak nie działa.
chociaż...: