Udowodnić elementarnie, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x+ \sqrt[16]{x^{16}+ 16 } }\) jest rosnąca.Ciekawa Funkcja
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11426
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Ciekawa Funkcja
Udowodnić elementarnie, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= x+ \sqrt[16]{x^{16}+ 16 } }\) jest rosnąca.-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22215
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Ciekawa Funkcja
Dla `x>0` sprawa jest oczywista.
Niech zatem `y<x<0` i `a=16`
Wtedy
\begin{align}
x+(x^{16}+16)^{1/16}-\left(y+(y^{16}+16)^{1/16}\right)&=x-y+\frac{x^{16}-y^{16}}{\sum_{k=0}^{15}(x^{16}+16)^{k/16}(y^{16}+16)^{(15-k)/16}}\\
&=(x-y)\left[1+\frac{\sum_{k=0}^{15} x^ky^{15-k}}{\sum_{k=0}^{15}(x^{16}+16)^{k/16}(y^{16}+16)^{(15-k)/16}}\right]
\end{align}
Zauważmy teraz, że składniki w liczniku ułamka są ujemne i `|t|<(t^16+16)^{1/16}` więc wszystkie składniki w liczniku są mniejsze co do wartości bezwzględnej od odpowiednich składników w mianowniku.
Zatem cały ułamek jest większy od `-1`, czyli prawa strona jest dodatnia, co pokazuje, że badana funkcja rośnie również przy ujemnych argumentach
Niech zatem `y<x<0` i `a=16`
Wtedy
\begin{align}
x+(x^{16}+16)^{1/16}-\left(y+(y^{16}+16)^{1/16}\right)&=x-y+\frac{x^{16}-y^{16}}{\sum_{k=0}^{15}(x^{16}+16)^{k/16}(y^{16}+16)^{(15-k)/16}}\\
&=(x-y)\left[1+\frac{\sum_{k=0}^{15} x^ky^{15-k}}{\sum_{k=0}^{15}(x^{16}+16)^{k/16}(y^{16}+16)^{(15-k)/16}}\right]
\end{align}
Zauważmy teraz, że składniki w liczniku ułamka są ujemne i `|t|<(t^16+16)^{1/16}` więc wszystkie składniki w liczniku są mniejsze co do wartości bezwzględnej od odpowiednich składników w mianowniku.
Zatem cały ułamek jest większy od `-1`, czyli prawa strona jest dodatnia, co pokazuje, że badana funkcja rośnie również przy ujemnych argumentach