Wielomian daje z dzielenia przez \(\displaystyle{ x-a}\) resztę \(\displaystyle{ A}\), z dzielenia przez \(\displaystyle{ x-b}\) resztę\(\displaystyle{ B}\). Znaleźć resztę z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)}\) przy założeniu \(\displaystyle{ a \neq b}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Z treści zadania wynika, że:
\(\displaystyle{ W(x)=P(x)(x-a)+A}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-b)+B}\), czyli
\(\displaystyle{ W(a)=A}\)
\(\displaystyle{ W(b)=B}\)
\(\displaystyle{ W(x)=S(x)(x-a)(x-b)+cx+d}\), a zatem
\(\displaystyle{ ca+d=A}\) i
\(\displaystyle{ cb+d=B}\)
jest to układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ c,d}\). Jak odejmiemy od pierwszego równania drugie to otrzymamy:
\(\displaystyle{ c(a-b)=A-B}\)
\(\displaystyle{ c=\frac{A-B}{a-b}}\) i dalej
\(\displaystyle{ d=A-a \frac{A-B}{a-b}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{Aa-Ab-aA+aB}{a-b}=\frac{aB-Ab}{a-b}}\)
, a zatem ta resztą o którą pytają w zadaniu wynosi:
\(\displaystyle{ R(x)=\frac{A-B}{a-b}x+\frac{aB-Ab}{a-b}}\)
Czy tak jest dobrze?
