znaleźć a,b.

bucalala · Post autor: **bucalala** » 1 gru 2007, o 10:34

mam do zrobienia takie zadanie, w ktorym ciagle mylę się w obliczeniach.

Jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ 3x^3+ax^2+bx+12=0}\), gdzie a,b należą do liczb całkowitych, jest liczba \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\) . Znajdź a i b.

Stosuj zapis w LaTeX-u przy zapisywaniu wyrażeń matematycznych, pierwiastków arytmetycznych, etc.
Szemek

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 1 gru 2007, o 10:43

Liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem tego równania. Zatem:
\(\displaystyle{ 3 (1+ 3 \sqrt{3} + 3 3 + 3 \sqrt{3})+a(1+ 2 \sqrt{3} +3)+b(1+\sqrt{3})+12=0 \\ 30+18 \sqrt{3} + 4a + 2a \sqrt{3} + b + b\sqrt{3} + 12=0 \\ 42+4a+b =-\sqrt{3}(18+2a+b)}\)

Lewa strona jest wymierna. Po prawej stronie mamy iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej. Jest on prawie zawsze niewymierny - jest tylko jeden wyjątek, gdy czynnik, który jest liczbą wymierną jest zerem. Zatem:
\(\displaystyle{ 18+2a+b=0 \\ b=-2a-18 \\ 42+4a-2a-18=0 \\ 2a+24=0 \\ a=-12 \\ b=24-18=6}\)

bucalala · Post autor: **bucalala** » 1 gru 2007, o 10:51

dziękuję (: