Matematyka.pl

Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ w}\) o współczynnikach rzeczywistych, które dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ (x-1)w(x+1)=(x+3)w(x-1)}\)

Jak to ugryźć? Może mi ktoś pomóc?

Kładąc \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=-3}\) od razu przekonujemy się z twierdzenia Bézouta, że wielomian \(\displaystyle{ w}\) jest postaci \(\displaystyle{ x(x+2)q(x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q\in \RR\left[ X\right] }\). Kładąc to do równania na \(\displaystyle{ w}\) otrzymamy, że \(\displaystyle{ q(x+1)=q(x-1)}\) (dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\), wydawać by się mogło, że równość nie musi zachodzić na \(\displaystyle{ -3,-1,1}\) ale tam też musi być równość tak naprawdę). Zatem \(\displaystyle{ q}\) jest okresowy wielomianem. Jest więc wielomianem zerowym. Zatem

No ok, chyba rozumiem, ale jak uzasadnić, że dla ta równość też zachodzi dla \(\displaystyle{ -3,-1,1}\)?

Janusz Tracz pisze: ↑15 gru 2022, o 17:48Zatem \(\displaystyle{ q}\) jest okresowy wielomianem. Jest więc wielomianem zerowym.

Raczej wielomianem stałym, czyli zerowego stopnia.

JK