Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} -mx ^{2} +m+3}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których ten wielomian ma dokładnie cztery pierwiastki.
Założenia:
\(\displaystyle{ \Delta>0}\) - wiem dlaczego
\(\displaystyle{ t_1+t_2>0}\)
\(\displaystyle{ t_1t_2>0}\)
Dlaczego korzystamy ze wzorów Viete'a?
Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla którego wielomian
-
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 23 cze 2013, o 13:50
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 2 razy
Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla którego wielomian
Ostatnio zmieniony 2 sty 2014, o 18:27 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Indeks dolny _{}. Nie "Viety", tylko "Viete'a".
Powód: Indeks dolny _{}. Nie "Viety", tylko "Viete'a".
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla którego wielomian
Dlatego, że stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ t>0}\), więc żeby były 4 pierwiastki, to zarówno suma jak i iloczyn muszą być dodatnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 23 cze 2013, o 13:50
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 2 razy
Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla którego wielomian
Dlaczego?mortan517 pisze:żeby były 4 pierwiastki, to zarówno suma jak i iloczyn muszą być dodatnie.
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla którego wielomian
Załóżmy inaczej, np.
Suma jest dodatnia, a iloczyn jest ujemny
\(\displaystyle{ t_1+t_2>0 \wedge t_1 \cdot t_2<0}\)
Wynika stąd, że jedna z liczb (\(\displaystyle{ t_1}\) lub \(\displaystyle{ t_2}\)) jest ujemna, co automatycznie odrzuca nam \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki, bo:
\(\displaystyle{ x_{1}^2<0 \wedge x_{2}^2>0}\)
Z pierwszego przypadku mamy sprzeczność, a z drugiego \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki.
Suma jest dodatnia, a iloczyn jest ujemny
\(\displaystyle{ t_1+t_2>0 \wedge t_1 \cdot t_2<0}\)
Wynika stąd, że jedna z liczb (\(\displaystyle{ t_1}\) lub \(\displaystyle{ t_2}\)) jest ujemna, co automatycznie odrzuca nam \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki, bo:
\(\displaystyle{ x_{1}^2<0 \wedge x_{2}^2>0}\)
Z pierwszego przypadku mamy sprzeczność, a z drugiego \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki.
-
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 23 cze 2013, o 13:50
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 2 razy