Matematyka.pl

Nie wiem czy dobrze obliczyłam gdzie funkcja jest dodatnia, gdzie ujemna oraz jej przedziały monotoniczności:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)=4x ^{3}-x ^{4} }\)

wyznaczanie gdzie funkcja jest dodatnia a gdzie ujemna sprawdzam poprzez obliczenie miejsc zerowych i w odpowiednich przedziałach sprawdzam znak?
\(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=4}\)
czyli funkcja jest dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left( 0,4\right) }\)
funkcja jest ujemna w przedziałach \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\), \(\displaystyle{ \left( 4, \infty \right) }\) - tutaj nie moge dać znaku sumy pomiędzy tymi przedziałam?

Funkcja rosnąca/malejąca:
\(\displaystyle{ f'\left( x\right)=12x ^{2}-4x ^{3} }\)

\(\displaystyle{ f'\left( x\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=3}\)

\(\displaystyle{ f _{\max}\left( 3\right) =27 }\)

W zerze będzie punkt przegiecia.

Sprawdzam znak pochodnej funkcji w przedziałach:
\(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right), \left( 0,3\right), \left( 3,+ \infty \right) }\)
funkcja rosnąca: \(\displaystyle{ \left( - \infty , 0\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( 0,3\right) }\)
funkcja malejąca: \(\displaystyle{ \left( 3, \infty \right) }\)

Oleszko12 pisze: ↑20 lis 2022, o 15:46 funkcja jest ujemna w przedziałach \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) }\), \(\displaystyle{ \left( 4, \infty \right) }\) - tutaj nie moge dać znaku sumy pomidzy tymi przedziałam?

Możesz. Funkcja jest ujemna w zbiorze \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) \cup \left( 4, \infty \right) }\).

Oleszko12 pisze: ↑20 lis 2022, o 15:46 funkcja rosnąca: \(\displaystyle{ \left( - \infty , 0\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( 0,3\right) }\)
funkcja malejąca: \(\displaystyle{ \left( 3, \infty \right) }\)

Da się te przedziały jeszcze powiększyć.

Nie rozumie jak mogę powiększyć te przedziały \(\displaystyle{ }\)
Mam też problem z wypukłością i wklęsłością funkcji.
Druga pochodna:
\(\displaystyle{ f''\left( x\right)=-12x^{2}+24x }\)

\(\displaystyle{ f''\left( x\right)=0 }\)

\(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=2}\) kurde i tutaj mi wyszło, że dla tych dwóch x-ów mam punkty przegięcia a jak popatrz na wykres to nie widzę aby dla \(\displaystyle{ x=2}\) istniał punkt przegięcia.

po wykresie widzę, że funkcja jest:
- wypukła dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0,3\right) }\)
- wklęsła dla \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,0\right)}\) oraz \(\displaystyle{ x \in \left( 3, \infty \right) }\)

Ja bym sprawdziła wypukłość/wklęsłość tylko w przedziałach od \(\displaystyle{ \left( - \infty ,0\right) , \left( 0,2\right), \left( 2, \infty \right) }\)
W jakich przedziałach powinnam sprawdzać wypukłość/wklęsłość i dlaczego?

Jak w `x=3` jest maksimum, to tam jest wklęsła, a w `x=0` wygląda jak `4x^3` więc jest wypukła na prawo od zera. Zatem między zerem i trójka musi się przegiąć

Jeszcze obliczyłam jaką wartość przyjmuje druga pochodna w punktach: \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x=2,5}\)
\(\displaystyle{ f''\left( 1\right)=12 }\)
\(\displaystyle{ f''\left( 2,5\right)=-15 }\)
Czyli funkcja będzie:
- wypukła dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0,2\right) }\)
- wklęsła dla \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty , 0\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( 2,3\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( 3, \infty \right)}\) -po każdym oraz musze pisać \(\displaystyle{ x \in }\)?

A skąd wzięłaś punkt `x=3`? Przy liczeniu drugiej pochodnej w ogóle się nie pojawia.

Powinnaś pisać tak, żeby nie pozostawić miejsca na wątpliwości. To jest chyba jedyna reguła.

Ta 3 to maksimum lokalne wiec pomyślałam, że też powinien się znaleźć w przedziałach

czyli funkcja będzie wklęsła dla \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ,0\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( 2, \infty \right) }\)

tak. I bez szkody możesz napisać wklęsła w przedziałąch `(-\infty,0]` i `[2,\infty)` i wypukła w `[0,2]`

Oleszko12 pisze: ↑20 lis 2022, o 18:00 Nie rozumie jak mogę powiększyć te przedziały

Jak można rozszerzyć przedział \((3,+\infty)\)? Chyba dużego wyboru nie masz. Liczbę \(3\) możesz dorzucić. Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej zapewnia, że na domkniętym przedziale \([3,+\infty)\) funkcja nadal będzie malejąca. Dalej już się nie da poszerzyć, bo po lewej stronie już są wartości mniejsze niż \(f(3)\). To tylko jeden punkt, ale dla przedziałów gdzie funkcja rośnie masz ciekawszą sytuację.