wykazanie nierówności

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 15 sie 2010, o 19:38

Niech P(x) będzie wielomianem o dodatnich współczynnikach.
Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ P(1)\geq 1}\), to dla \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(x)\geq \frac{1}{P( \frac{1}{x} )}}\)

timon92 · Post autor: **timon92** » 15 sie 2010, o 19:53

z Cauchy'ego-Schwarza:

\(\displaystyle{ P(x) \cdot P(\frac{1}{x}) = (a_nx^n+ ... + a_1x+a_0)(\frac{a_n}{x^n}+ ... + \frac{a_1}{x} + a_0) \ge (a_n+... + a_1+a_0)^2 = \left (P(1) \right)^2 = 1}\)

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 15 sie 2010, o 20:03

szybko i sprawnie