Nie tak dawno temu wyprowadziłem wzór na wielomiany Czebyszowa
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2-1\right)^{k} }\)
Jak wydobyć współczynniki tego wielomianu stopnia n ?
Próbowałem skorzystać z dwumianu Newtona ale otrzymałem podwójną sumę
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( \sum_{m=0}^{k} {k \choose m} x^{2m}\left( -1\right)^{k-m} \right) \\
\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left( -1\right)^{k-m} {n \choose 2k} \cdot {k \choose m} x^{n+2m-2k}\\
}\)
Teraz jak dalej liczyć tę sumę ?
Jak wyglądałaby zmiana kolejności sumowania i czy coś by dała ?
Czego jeszcze próbowałem ?
Otóż rozpisałem sobie sumę
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2-1\right)^{k} }\)
dla \(\displaystyle{ n=8}\)
i postawiłem hipotezę że
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \sum_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\left( -1\right)^{k}{n \choose 2m} \cdot {m \choose k} x^{n-2k} }\)
Jednak przydałoby się wykazać poprawność tej hipotezy
i policzyć sumę
\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2m} \cdot {m \choose k}}\)
Tutaj chciałbym zaznaczyć że Wolfram Alpha liczy tę sumę błędnie
Dodano po 2 dniach 22 godzinach 2 minutach 13 sekundach:
Wolfram Alpha policzył powyższą sumę następująco
\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}{{n \choose 2m} \cdot {m \choose k}} = \frac{n}{2n-2k} \cdot 2^{n-2k} \cdot {n - k \choose k}}\)
I to byłby nawet ładny wynik ale
po pierwsze nie jest do końca poprawny ( Zauważyliście dlaczego ?)
a po wtóre pochodzi z hipotezy którą postawiłem po rozpisaniu wzoru dla \(\displaystyle{ n=8}\)
Dodano po 3 miesiącach 8 dniach 14 godzinach 50 minutach 27 sekundach:
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left(x^2-1\right)^{k} }\)
Po zastosowaniu dwumianu Newtona do czynnika \(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{k} }\) dostajemy
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( \sum_{m=0}^{k}{k \choose m}x^{2m}\left( -1\right)^{k-m} \right) }\)
Czynnik \(\displaystyle{ {n \choose 2k}x^{n-2k} }\)
jest niezależny od \(\displaystyle{ m}\) więc można go zapisać w tej wewnętrznej sumie
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}{n \choose 2k} \cdot x^{n-2k} \cdot {k \choose m}x^{2m} \cdot \left(-1\right)^{k-m} }\)
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left(-1\right)^{k-m}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m}x^{n+2m-2k} }\)
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left(-1\right)^{k-m}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m}x^{n-2\left( k-m\right) } }\)
Teraz zauważmy że \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k} }\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left(-1\right)^{k-m}{n \choose 2k} \cdot {k \choose k - m}x^{n-2\left( k-m\right) } }\)
Spróbujmy teraz przeindeksować tę wewnętrzną sumę
\(\displaystyle{ l = k - m}\)
\(\displaystyle{ 0 \le m \le k\\
0 \ge -m \ge -k\\
k \ge k-m \ge 0
}\)
Wobec powyższego mamy następującą sumę
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{l=0}^{k}\left( -1\right)^{l} {n \choose 2k} \cdot {k \choose l}x^{n-2l} }\)
Teraz jak wyglądałaby zmiana kolejności sumowania w powyższej sumie ?
Próbowałem coś szukać samemu ale jedyny wątek na tym forum
dotyczący zmiany kolejności sumowania został usunięty
To może zapytam inaczej czy zmiana kolejności sumowania
da mi taką samą postać jak w tej mojej hipotezie
szeregi-liczbowe-i-iloczyny-nieskonczon ... 98295.html
A gdy ostatnio przeszukiwałem to forum to tutaj znalazłem wpis użytkownika Qń
z którego wynika że po zmianie kolejności sumowania otrzymałbym
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right) = \sum_{l=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{k=l}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \left( -1\right)^{l} {n \choose 2k} \cdot {k \choose l}x^{n-2l} }\)
czyli będzie to dokładnie to samo co w mojej hipotezie
Dobrze by było gdyby ktoś potwierdził poprawność tych kroków bo nie mam pewności czy jest to poprawne
Tej zmiany kolejności sumowania jeszcze nie ćwiczyłem
Czy z tych nierówności powstałych po zmianie zmiennej indeksującej tą wewnętrzną sumę
wynika poprawne indeksowanie sum ?
Współczynniki wielomianów Czebyszowa
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Współczynniki wielomianów Czebyszowa
Poprawność tej zmiany kolejności sumowania potwierdził Dasio
memberlist.php?mode=viewprofile&u=41442
jednak zostaje do policzenia suma
\(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} {n \choose 2k} \cdot {k \choose l}}\)
na której policzenie nie mam pomysłu
Jeżeli chcecie zobaczyć skąd wziąłem wzorek
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2-1\right)^{k} }\)
to można go znaleźć w wątku
funkcje-wielomianowe-f27/wielomiany-cze ... l#p5655868
memberlist.php?mode=viewprofile&u=41442
jednak zostaje do policzenia suma
\(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} {n \choose 2k} \cdot {k \choose l}}\)
na której policzenie nie mam pomysłu
Jeżeli chcecie zobaczyć skąd wziąłem wzorek
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2-1\right)^{k} }\)
to można go znaleźć w wątku
funkcje-wielomianowe-f27/wielomiany-cze ... l#p5655868