Współczynniki wielomianów Czebyszowa

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Współczynniki wielomianów Czebyszowa

Post autor: Mariusz M »

Nie tak dawno temu wyprowadziłem wzór na wielomiany Czebyszowa

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2-1\right)^{k} }\)

Jak wydobyć współczynniki tego wielomianu stopnia n ?

Próbowałem skorzystać z dwumianu Newtona ale otrzymałem podwójną sumę

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( \sum_{m=0}^{k} {k \choose m} x^{2m}\left( -1\right)^{k-m} \right) \\
\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left( -1\right)^{k-m} {n \choose 2k} \cdot {k \choose m} x^{n+2m-2k}\\
}\)


Teraz jak dalej liczyć tę sumę ?
Jak wyglądałaby zmiana kolejności sumowania i czy coś by dała ?


Czego jeszcze próbowałem ?

Otóż rozpisałem sobie sumę
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2-1\right)^{k} }\)

dla \(\displaystyle{ n=8}\)

i postawiłem hipotezę że

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \sum_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\left( -1\right)^{k}{n \choose 2m} \cdot {m \choose k} x^{n-2k} }\)

Jednak przydałoby się wykazać poprawność tej hipotezy
i policzyć sumę

\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2m} \cdot {m \choose k}}\)

Tutaj chciałbym zaznaczyć że Wolfram Alpha liczy tę sumę błędnie

Dodano po 2 dniach 22 godzinach 2 minutach 13 sekundach:
Wolfram Alpha policzył powyższą sumę następująco

\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}{{n \choose 2m} \cdot {m \choose k}} = \frac{n}{2n-2k} \cdot 2^{n-2k} \cdot {n - k \choose k}}\)

I to byłby nawet ładny wynik ale
po pierwsze nie jest do końca poprawny ( Zauważyliście dlaczego ?)
a po wtóre pochodzi z hipotezy którą postawiłem po rozpisaniu wzoru dla \(\displaystyle{ n=8}\)

Dodano po 3 miesiącach 8 dniach 14 godzinach 50 minutach 27 sekundach:
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left(x^2-1\right)^{k} }\)

Po zastosowaniu dwumianu Newtona do czynnika \(\displaystyle{ \left( x^2-1\right)^{k} }\) dostajemy

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( \sum_{m=0}^{k}{k \choose m}x^{2m}\left( -1\right)^{k-m} \right) }\)

Czynnik \(\displaystyle{ {n \choose 2k}x^{n-2k} }\)
jest niezależny od \(\displaystyle{ m}\) więc można go zapisać w tej wewnętrznej sumie

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}{n \choose 2k} \cdot x^{n-2k} \cdot {k \choose m}x^{2m} \cdot \left(-1\right)^{k-m} }\)
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left(-1\right)^{k-m}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m}x^{n+2m-2k} }\)
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left(-1\right)^{k-m}{n \choose 2k} \cdot {k \choose m}x^{n-2\left( k-m\right) } }\)

Teraz zauważmy że \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k} }\)

Mamy zatem
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{m=0}^{k}\left(-1\right)^{k-m}{n \choose 2k} \cdot {k \choose k - m}x^{n-2\left( k-m\right) } }\)

Spróbujmy teraz przeindeksować tę wewnętrzną sumę

\(\displaystyle{ l = k - m}\)

\(\displaystyle{ 0 \le m \le k\\
0 \ge -m \ge -k\\
k \ge k-m \ge 0
}\)


Wobec powyższego mamy następującą sumę

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{l=0}^{k}\left( -1\right)^{l} {n \choose 2k} \cdot {k \choose l}x^{n-2l} }\)

Teraz jak wyglądałaby zmiana kolejności sumowania w powyższej sumie ?
Próbowałem coś szukać samemu ale jedyny wątek na tym forum
dotyczący zmiany kolejności sumowania został usunięty

To może zapytam inaczej czy zmiana kolejności sumowania
da mi taką samą postać jak w tej mojej hipotezie


szeregi-liczbowe-i-iloczyny-nieskonczon ... 98295.html

A gdy ostatnio przeszukiwałem to forum to tutaj znalazłem wpis użytkownika Qń
z którego wynika że po zmianie kolejności sumowania otrzymałbym

\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right) = \sum_{l=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{k=l}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \left( -1\right)^{l} {n \choose 2k} \cdot {k \choose l}x^{n-2l} }\)

czyli będzie to dokładnie to samo co w mojej hipotezie

Dobrze by było gdyby ktoś potwierdził poprawność tych kroków bo nie mam pewności czy jest to poprawne
Tej zmiany kolejności sumowania jeszcze nie ćwiczyłem
Czy z tych nierówności powstałych po zmianie zmiennej indeksującej tą wewnętrzną sumę
wynika poprawne indeksowanie sum ?
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Współczynniki wielomianów Czebyszowa

Post autor: Mariusz M »

Poprawność tej zmiany kolejności sumowania potwierdził Dasio
memberlist.php?mode=viewprofile&u=41442
jednak zostaje do policzenia suma

\(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} {n \choose 2k} \cdot {k \choose l}}\)

na której policzenie nie mam pomysłu

Jeżeli chcecie zobaczyć skąd wziąłem wzorek
\(\displaystyle{ T_{n}\left( x\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}{n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2-1\right)^{k} }\)
to można go znaleźć w wątku
funkcje-wielomianowe-f27/wielomiany-cze ... l#p5655868
ODPOWIEDZ