Matematyka.pl

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia \(\displaystyle{ n>1}\), to wielomian \(\displaystyle{ g(x) = f(f(x)) − x}\) ma co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków całkowitych.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ g(x)=ff(x)-x}\)

ma tych pierwiastków całkowitych:

\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{n+1}}\)

parami różnych...

skorzystam z twierdzenia:

jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) wielomian ma współczynniki całkowite to dla dowolnych różnych: \(\displaystyle{ a, b}\)

\(\displaystyle{ a-b|f(a)-f(b)}\) - twierdzenie

w naszym przypadku mamy:

dla dowolnych różnych pierwiastków:

\(\displaystyle{ a_{i}-a_{j}| f\left( a_{i} \right) -f\left( a_{j} \right)| ff\left( a_{i} \right)-f f\left( a_{j} \right)=a_{i}-a_{j}}\)

wychodzi z tego, że:

\(\displaystyle{ a_{i}-a_{j} | f\left( a_{i} \right)-f\left( a_{j} \right) | a_{i}-a_{j} , i \neq j}\)

wynika z tego że:

\(\displaystyle{ | f\left( a_{i} \right)-f\left( a_{j} \right)|=| a_{i}-a_{j}| , i \neq j, i , j=1,2,3,...,n , n+1}\)

układ równań ma:

\(\displaystyle{ {n+1 \choose 2} }\) - równań... (minimum)

rozwiązaniami tego układu są takie typy mniej więcej:

(*) \(\displaystyle{ f(a_{i})=f(a_{1}) \pm a_{1} \mp a_{i} , i=2,3,...,n+1}\)

jeżeli teraz

napiszemy:

\(\displaystyle{ f(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^2+...+b_{n}x^n}\)

i podstawimy (*) otrzymamy:

\(\displaystyle{ b_{0}+b_{1}a_{i}+b_{2}a_{i}^2+...+b_{n}a_{i}^n=f(a_{1})\pm a_{1} \mp a_{i} , i=2,3,...,n+1}\)

a teraz jak będziemy te równania odejmować stronami i dzielić (czego już nie będę prezentował) otrzymamy, że:

\(\displaystyle{ a_{2}=a_{3}=...=a_{n+1}}\)

co daje nam sprzeczność

znaczy, że \(\displaystyle{ g(x)}\) nie może mieć więcej niż \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków...cnd...