Wyprowadźmy najpierw wzór na wielomiany Czebyszowa
Przypomnijmy sobie wzory na cosinusa sumy i cosinusa różnicy dzięki czemu dostaniemy wzór rekurencyjny
\(\displaystyle{ \cos{\left( \alpha +\beta\right) }=\cos{ \alpha }\cos{ \beta } - \sin{ \alpha }\sin{ \beta}\\
\cos{\left( \alpha -\beta\right) }=\cos{ \alpha }\cos{ \beta } + \sin{ \alpha }\sin{ \beta}
}\)
\(\displaystyle{
\cos{\left( \left( n+1\right)t \right) }=\cos{\left( nt\right) }\cos{t} - \sin{\left( nt\right) }\sin{t}\\
\cos{\left( \left( n-1\right)t \right) }=\cos{\left( nt\right) }\cos{t} + \sin{\left( nt\right) }\sin{t}\\
\cos{\left( \left( n+1\right)t \right) }+\cos{\left( \left( n-1\right)t \right) } = 2\cos{\left( nt\right) }\cos{t}\\
T_{n+1}\left( x\right)+T_{n-1}\left( x\right) = 2xT_{n}\left( x\right)
}\)
Mamy zatem równanie rekurencyjne na wielomiany Czebyszowa
\(\displaystyle{
\begin{cases}T_{n}\left( x\right) = 1 \qquad n=0 \\ T_{1}\left( x\right) = x \qquad n=1\\T_{n}\left( x\right)=2xT_{n-1}\left( x\right) - T_{n-2}\left( x\right) \qquad n \ge 2\end{cases}
}\)
Zdefiniujmy wykładniczą funkcję tworzącą dla wielomianów Czebyszowa
\(\displaystyle{ E\left( x,t\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} }\)
i wstawmy ją do równania rekurencyjnego
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} }=\sum_{n=2}^{ \infty }{\left(2xT_{n-1}\left( x\right) - T_{n-2}\left( x\right) \right) \cdot \frac{t^n}{n!} }\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} }=2x\left(\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n-1}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} } \right) - \left( \sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n-2}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} } \right) \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} }=2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+1}}{\left( n+1\right) !} } \right) - \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+2}}{\left( n+2\right) !} } \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} } - 1 - xt = 2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+1}}{\left( n+1\right) !} } - t\right)- \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+2}}{\left( n+2\right) !} } \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} } - 1 - xt = 2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+1}}{\left( n+1\right) !} } \right) -2xt- \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+2}}{\left( n+2\right) !} } \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^n}{n!} } -2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+1}}{\left( n+1\right) !} } \right)+\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+2}}{\left( n+2\right) !} } \right)=1-xt\\
}\)
Niech \(\displaystyle{ y\left( t\right)=\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+2}}{\left( n+2\right) !} } \right) }\)
Ponadto zauważmy że
\(\displaystyle{ y\left( 0\right) = 0\\
y'\left( 0\right) = 0\\
}\)
\(\displaystyle{
y\left( t\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n+2}}{\left( n+2\right) !} }\\
y'\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{\left( n+2\right) t^{n+1}}{\left( n+2\right) !} }\\
y'\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{\left( n+2\right) t^{n+1}}{\left( n+2\right)\left( n+1\right) !} }\\
y'\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{ t^{n+1}}{\left( n+1\right) !} }\\
y''\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{ \left( n+1\right) t^{n}}{\left( n+1\right)!} }\\
y''\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{ \left( n+1\right) t^{n}}{\left( n+1\right)n!} }\\
y''\left( t\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }{T_{n}\left( x\right) \cdot \frac{t^{n}}{n!} }\\
}\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe (liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach z warunkami początkowymi)
Aby je rozwiązać wygodnie jest zastosować przekształcenie Laplace
\(\displaystyle{
y''\left( t\right) - 2xy'\left( t\right)+y\left( t\right)=1-xt\\
y\left( 0\right) = 0\\
y'\left( 0\right) =0\\
\mathcal{L}\left\{ y''\left( t\right) - 2xy'\left( t\right)+y\left( t\right)\right\} =\mathcal{L}\left\{1-xt \right\} \\
\mathcal{L}\left\{ y''\left( t\right)\right\} -2x\mathcal{L}\left\{ y'\left( t\right)\right\} +\mathcal{L}\left\{ y\left( t\right)\right\} =\mathcal{L}\left\{ 1\right\} -x\mathcal{L}\left\{ t\right\} \\
-y'\left( 0\right) -sy\left( 0\right) +s^2Y\left( s\right) -2x\left( -y\left( 0\right)+sY\left( s\right) \right) +Y\left( s\right) = \frac{1}{s} - \frac{x}{s^2}\\
s^2Y\left( s\right)-2xsY\left( s\right)+Y\left( s\right) = \frac{s-x}{s^2}\\
\left( s^2-2xs+1\right)Y\left( s\right) = \frac{s-x}{s^2}\\
Y\left( s\right) = \frac{s-x}{s^2\left( s^2-2xs+1\right)}\\
}\)
Ponieważ przekształcenie Laplace jest liniowe rozkład na sumę ułamków prostych ułatwi znalezienie przekształcenia odwrotnego
\(\displaystyle{
\frac{s-x}{s^2\left( s^2-2xs+1\right)} = \frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{Cs+D}{s^2-2xs+1}\\
\frac{s-x}{s^2\left( s^2-2xs+1\right)} = \frac{As\left( s^2-2xs+1\right)+B\left( s^2-2xs+1\right)+s^2\left( Cs+D\right) }{s^2\left( s^2-2xs+1\right)}\\
s-x = As\left( s^2-2xs+1\right)+B\left( s^2-2xs+1\right)+s^2\left( Cs+D\right)\\
s-x = As^3-2xAs^2+As+Bs^2-2xBs +B +Cs^3+Ds^2\\
s-x = \left( A+C\right)s^3+\left( -2xA+B+D\right)s^2+\left( A-2xB\right)s+B\\
\begin{cases} A+C=0 \\ -2xA+B+D = 0\\ A-2xB=1\\B=-x \end{cases} \\
\begin{cases} C=-A \\ -2xA+D = x\\ A-2x\left( -x\right) =1\\B=-x \end{cases} \\
\begin{cases} A = 1-2x^2 \\ B=-x\\C=2x^2-1\\-2x\left( 1-2x^2\right)+D=x \end{cases} \\
\begin{cases} A = 1-2x^2 \\ B=-x\\C=2x^2-1\\-2x+4x^3+D=x \end{cases} \\
\begin{cases} A = 1-2x^2 \\ B=-x\\C=2x^2-1\\D=3x-4x^3 \end{cases} \\
}\)
\(\displaystyle{
Y\left( s\right) = \left( 1-2x^2\right) \cdot \frac{1}{s} - x \cdot \frac{1}{s^2}+ \frac{\left( 2x^2-1\right)s+3x-4x^3 }{s^2-2xs+1}\\
Y\left( s\right) = \left( 1-2x^2\right) \cdot \frac{1}{s} - x \cdot \frac{1}{s^2}+ \frac{\left( 2x^2-1\right)s+3x-4x^3 }{\left( s-x\right)^2+1-x^2}\\
Y\left( s\right) = \left( 1-2x^2\right) \cdot \frac{1}{s} - x \cdot \frac{1}{s^2}+\frac{\left( 2x^2-1\right)\left( s-x\right)+2x\left(1-x^2 \right) }{\left( s-x\right)^2+1-x^2}\\
Y\left( s\right) = \left( 1-2x^2\right) \cdot \frac{1}{s} - x \cdot \frac{1}{s^2}+\frac{\left( 2x^2-1\right)\left( s-x\right)+2x\left(1-x^2 \right) }{\left( s-x\right)^2+\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2}\\
Y\left( s\right) = \left( 1-2x^2\right) \cdot \frac{1}{s} - x \cdot \frac{1}{s^2}+\left( 2x^2-1\right)\frac{s-x}{\left( s-x\right)^2+\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2}+2x \sqrt{} \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{ \sqrt{1-x^2} }{\left( s-x\right)^2+\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2} \\
y\left( t\right) = \left( 1-2x^2\right) -xt + \left( 2x^2-1\right)e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } + 2x \sqrt{1-x^2} e^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }\\
}\)
Zróżniczkujmy dwukrotnie pomocniczą funkcję \(\displaystyle{ y\left( t\right) }\)
a będzie to wykładnicza funkcja tworząca wielomianów Czebyszowa
\(\displaystyle{ y\left( t\right) = \left( 1-2x^2\right) -xt + \left( 2x^2-1\right)e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } + 2x \sqrt{1-x^2} e^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }\\
y'\left( t\right) = -x + \left( 2x^2-1\right)\left( xe^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }- \sqrt{1-x^2}e^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } \right) +2x \sqrt{1-x^2}\left( xe^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } + \sqrt{1-x^2}e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } \right) \\
y'\left( t\right) = -x+\left( 2x^3-x+2x-2x^3\right)e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }+\left( -2x^2+1+2x^2\right) \sqrt{1-x^2} e^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } \\
y'\left( t\right) = -x+xe^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }+\sqrt{1-x^2} e^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } \\
y''\left( t\right) = x\left( xe^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } - \sqrt{1-x^2} \cdot e^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } \right)+ \sqrt{1-x^2}\left( xe^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }+ \sqrt{1-x^2}e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } \right)\\
y''\left( t\right) = \left( x^2+1-x^2\right)e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }+\left( -x+x\right) \sqrt{1-x^2}e^{xt}\sin{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }\\
y''\left( t\right) = e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }
}\)
Zatem wykładnicza funkcja tworząca wielomianów Czebyszowa to
\(\displaystyle{ E\left( x,t\right)=e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } }\)
Zauważmy że dość łatwo policzyć n. pochodną każdego z czynników tej funkcji tworzącej
możemy więc skorzystać ze wzoru Leibniza na pochodną iloczynu
\(\displaystyle{
\frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}t^n}e^{xt}=x^ne^{xt}\\
\frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}t^n}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } = \left( \sqrt{1-x^2} \right)^n\cos{\left(\frac{\pi}{2}n+ \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } \\
}\)
Wstawiając powyższe do wzoru Leibniza na pochodną iloczynu
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}t^n}e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) } = \sum_{k=0}^{n} { {n \choose k} x^{n-k}e^{xt} \cdot \left( \sqrt{1-x^2} \right)^k\cos{\left(\frac{\pi}{2}k+ \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }}\\
}\)
Jeżeli teraz wstawimy \(\displaystyle{ t=0}\)
to otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}t^n}e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }\biggl|_{t=0} = \sum_{k=0}^{n}{ {n \choose k} x^{n-k}\left( \sqrt{1-x^2} \right)^{k}\cos{\left( \frac{\pi}{2} \cdot k\right) } }\\
\frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}t^n}e^{xt}\cos{\left( \sqrt{1-x^2} \cdot t\right) }\biggl|_{t=0} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor } { {n \choose 2k}\left( -1\right)^kx^{n-2k}\left( 1-x^2\right)^k }\\
}\)
Czyli dostajemy
\(\displaystyle{
T_{n}\left( x\right) = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor } { {n \choose 2k}\left( -1\right)^kx^{n-2k}\left( 1-x^2\right)^k }\\
}\)
Możemy jeszcze ten wzór nieco uprościć pod warunkiem że nie przeszkadza nam niedodatnia liczba w podstawie potęgi
Będziemy mieli wówczas
\(\displaystyle{
T_{n}\left( x\right) = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor } { {n \choose 2k}x^{n-2k}\left( x^2 - 1\right)^k }\\
}\)
Teraz mając wielomiany Czebyszowa możemy łatwo wyrazić cosinusa wielokrotności kąta w postaci sumy potęg cosinusa
jednak czasem np w całkowaniu przydaje się sytuacja odwrotna
Mając dane pewne naturalne n bierzemy wszystkie naturalne k nie większe od n które dają taką samą resztę z dzielenia przez 2 co n
i wyznaczamy dla każdego takiego k niezerowe współczynniki wielomianu Czebyszowa i umieszczamy w kolejnych kolumnach macierzy np A
Następnie tak utworzoną macierz odwracamy
(Tutaj dobrze jest te k uporządkować)
Jeżeli chodzi o odwracanie macierzy to większość metod bazuje na rozwiązaniu n układów równań pochodzących z równania macierzowego
\(\displaystyle{ AA^{-1}=I}\)
i jeżeli rozbijemy macierze \(\displaystyle{ A^{-1}}\) oraz \(\displaystyle{ I}\)
na kolumny to dostaniemy n układów równań
Ostatnio zauważyłem w tablicach Mizerskiego wzór na współczynnkiki wielomianu charakterystycznego
jednak był on wg mnie błędnie zapisany i go poprawiłem
Załóżmy że prawdziwe jest twierdzenie
Ślad m. potęgi macierzy A jest sumą m. potęg wartości własnych macierzy A
\(\displaystyle{ \mathrm{tr}\left( A^{m}\right)= \sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}^{m} }\)
Podejrzewam że to twierdzenie jest prawdziwe jednak miałbym trudności z pokazaniem tego
Suma m. potęg jest funkcją symetryczną więc być wyrażona za pomocą funkcyj symetrycznych podstawowych
Mamy na akurat te funkcje symetryczne wzory Newtona-Girarda
Przyjmując oznaczenia z książki Sierpińskiego mamy
\(\displaystyle{ ke_{k}= \sum_{j=1}^{k}\left( -1\right)^{j-1}e_{k-j}p_{j} }\)
Niech \(\displaystyle{ a_{k} , k \in \mathbb{Z}_{n}}\)
będą współczynnikami wielomianu
\(\displaystyle{ \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+a_{n-2}\lambda^{n-2}+\ldots+a_{0}}\)
wówczas ze wzorów Vieta otrzymujemy
\(\displaystyle{
a_{n-k}=\left( -1\right)^{k}e_{k}\\
e_{k} = \left( -1\right)^{k}a_{n-k}\\
}\)
Wstawiając powyższe do wzorów Newtona-Girarda otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n}=1 \\ a_{m} = -\frac{1}{n-m} \cdot \left( \sum_{j=1}^{n-m}a_{j+m} \mathrm{tr}\left( A^{j}\right)\right) \end{cases} }\)
Mając wielomian charakterystyczny można korzystając z twierdzenia Cayleya Hamiltona odwrócić macierz
Dla pewnego n takiego jak np n=10 można to łatwo policzyć
ale jak to policzyć w ogólności tak aby otrzymać wzór na współczynniki w postaci sumy