Matematyka.pl

Dany jest wielomian:

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-66x+a^2+a-26)(x+2)+(3a^2-a)(x+2)x}\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których powyższy wielomian można zapisać jako sześcian pewnego dwumianu.

Założyłem, że wielomian jest postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+k)^3=x^3+3x^2k+3xk^2+k^3}\)

Po przyrównaniu odpowiednich współczynniki z wielomianem z zadania uzyskuje następujące równania:

\(\displaystyle{ 3a^2-a-64=3k \\ 7a^2-a-158=3k^2 \\ 2(a^2+a-26)=k^3}\)

Następnie po wyrugowaniu parametru \(\displaystyle{ k}\) uzyskuję poniższe równanie:

\(\displaystyle{ (3a^2-a-64)(7a^2-a-158)=18(a^2+a-26)}\)

Moje pytanie brzmi, dlaczego wychodzą tutaj dwa różne parametry \(\displaystyle{ a}\)?

Dlaczego masz dwa - nie wiem - może oba są ok. Sprawdzałeś ?
Robiłem bardziej klasycznie i dostałem jeden. Może sobie ułatwiłem zadanie.

Wiem, że wyciągając wspólny czynnik przed nawias będzie szybciej i wtedy wyjdzie jedna możliwość \(\displaystyle{ a=5}\). W moim sposobie też co prawda uzyskamy jedno z rozwiązań równe pięć. Pytanie zatem jak w ogóle może istnieć drugi (nieelementarny) przypadek skoro mamy to miejsce zerowe podane?

A sprawdzałeś czy ten drugi spełnia te trzy równania z \(\displaystyle{ (a)}\) i \(\displaystyle{ (k)}\) ? Czy było to \(\displaystyle{ a=-4,4}\) ? (bo Twojego nie robiłem)

Ja robiłem tak, że wyłączyłem wspólny przed nawias, a to co zostanie ma być postaci \(\displaystyle{ x^2+4x+4}\).
Zatem :
\(\displaystyle{ 3a^2-a-66=4}\) i \(\displaystyle{ a^2+a-26=4}\).

Tak jak pisałem, drugie z rozwiązań wychodzi nieelementarne na poziomie licealnym, nie ma jak tego w praktyce podstawić, a Wolfram poddaje koszmarną postać tego rozwiązania.

Wystarczy zauważyć, że pierwiastkiem tego wielomianu jest `x=-2`

Powtórzę się ponownie, znam rozwiązanie tego zadania z wyciąganiem odpowiedniego nawiasu przed nawias. Ten post zupełnie nie o tym prawi.

Masz trzy równania z jedna niewiadomą. Rugować `k` możesz na kilka sposobów - każdy z nich prowadzi do wielomianu, który może mieć kilka pierwiastków, ale wcale nie znaczy to, że każde rozwiązanie będzie spełniało wszystkie równania.

Inna sprawa, że rugowanie `k` jest bez sensu, skoro wiadomo, że `k=2`

Ok, teraz już chyba wiem o co chodzi. Dzięki za pomoc.

a4karo pisze: ↑27 sty 2024, o 08:20 Wystarczy zauważyć, że pierwiastkiem tego wielomianu jest `x=-2`

Uważam, że nie wystarczy.
Bo otrzymamy wtedy dwa rozwiązania, jedno nie spełniające warunków zadania. Czyli to o jakim pisałem \(\displaystyle{ a=-4,4}\).

Żadna z tych liczb nie spełnia warunków. Rozwiązaniem jest `a=5`

piasek101 pisze: ↑27 sty 2024, o 17:58

a4karo pisze: ↑27 sty 2024, o 08:20 Wystarczy zauważyć, że pierwiastkiem tego wielomianu jest `x=-2`

Uważam, że nie wystarczy.
Bo otrzymamy wtedy dwa rozwiązania [...]

"Wtedy" to znaczy jakim sposobem? a4karo zapewne chodzi o przyrównanie wyjściowego wielomianu do \(\displaystyle{ (x+2)^3}\) i w ten sposób wychodzi właśnie jedno rozwiązanie.

Dokładnie tak. W tym celu trzeba wyznaczyć wspólne rozwiązanie trzech równań napisanych przez autora przy `k=3`. Nawiasem mówiąc, wcale nie jest jasne z góry, że takie `a` musi istnieć.

Nieco prościej podzielić obie strony przez \(\displaystyle{ x+2}\), wtedy wychodzi układ dwóch równań.

ALbo policzyć drugą pochodną w zerze i sprawdzić, że tylko jedna z dwóch wartości `a` spełnia warunki zadania.