Wielomian z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 546
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 500 razy
- Pomógł: 5 razy
Wielomian z parametrem
Dany jest wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-66x+a^2+a-26)(x+2)+(3a^2-a)(x+2)x}\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których powyższy wielomian można zapisać jako sześcian pewnego dwumianu.
Założyłem, że wielomian jest postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+k)^3=x^3+3x^2k+3xk^2+k^3}\)
Po przyrównaniu odpowiednich współczynniki z wielomianem z zadania uzyskuje następujące równania:
\(\displaystyle{ 3a^2-a-64=3k \\ 7a^2-a-158=3k^2 \\ 2(a^2+a-26)=k^3}\)
Następnie po wyrugowaniu parametru \(\displaystyle{ k}\) uzyskuję poniższe równanie:
\(\displaystyle{ (3a^2-a-64)(7a^2-a-158)=18(a^2+a-26)}\)
Moje pytanie brzmi, dlaczego wychodzą tutaj dwa różne parametry \(\displaystyle{ a}\)?
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-66x+a^2+a-26)(x+2)+(3a^2-a)(x+2)x}\)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), dla których powyższy wielomian można zapisać jako sześcian pewnego dwumianu.
Założyłem, że wielomian jest postaci:
\(\displaystyle{ W(x)=(x+k)^3=x^3+3x^2k+3xk^2+k^3}\)
Po przyrównaniu odpowiednich współczynniki z wielomianem z zadania uzyskuje następujące równania:
\(\displaystyle{ 3a^2-a-64=3k \\ 7a^2-a-158=3k^2 \\ 2(a^2+a-26)=k^3}\)
Następnie po wyrugowaniu parametru \(\displaystyle{ k}\) uzyskuję poniższe równanie:
\(\displaystyle{ (3a^2-a-64)(7a^2-a-158)=18(a^2+a-26)}\)
Moje pytanie brzmi, dlaczego wychodzą tutaj dwa różne parametry \(\displaystyle{ a}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Wielomian z parametrem
Dlaczego masz dwa - nie wiem - może oba są ok. Sprawdzałeś ?
Robiłem bardziej klasycznie i dostałem jeden. Może sobie ułatwiłem zadanie.
Robiłem bardziej klasycznie i dostałem jeden. Może sobie ułatwiłem zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 546
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 500 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wielomian z parametrem
Wiem, że wyciągając wspólny czynnik przed nawias będzie szybciej i wtedy wyjdzie jedna możliwość \(\displaystyle{ a=5}\). W moim sposobie też co prawda uzyskamy jedno z rozwiązań równe pięć. Pytanie zatem jak w ogóle może istnieć drugi (nieelementarny) przypadek skoro mamy to miejsce zerowe podane?
Ostatnio zmieniony 25 sty 2024, o 23:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: w ogóle.
Powód: Poprawa wiadomości: w ogóle.
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Wielomian z parametrem
A sprawdzałeś czy ten drugi spełnia te trzy równania z \(\displaystyle{ (a)}\) i \(\displaystyle{ (k)}\) ? Czy było to \(\displaystyle{ a=-4,4}\) ? (bo Twojego nie robiłem)
Ja robiłem tak, że wyłączyłem wspólny przed nawias, a to co zostanie ma być postaci \(\displaystyle{ x^2+4x+4}\).
Zatem :
\(\displaystyle{ 3a^2-a-66=4}\) i \(\displaystyle{ a^2+a-26=4}\).
Ja robiłem tak, że wyłączyłem wspólny przed nawias, a to co zostanie ma być postaci \(\displaystyle{ x^2+4x+4}\).
Zatem :
\(\displaystyle{ 3a^2-a-66=4}\) i \(\displaystyle{ a^2+a-26=4}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 546
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 500 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wielomian z parametrem
Tak jak pisałem, drugie z rozwiązań wychodzi nieelementarne na poziomie licealnym, nie ma jak tego w praktyce podstawić, a Wolfram poddaje koszmarną postać tego rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 546
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 500 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wielomian z parametrem
Powtórzę się ponownie, znam rozwiązanie tego zadania z wyciąganiem odpowiedniego nawiasu przed nawias. Ten post zupełnie nie o tym prawi.
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Wielomian z parametrem
Masz trzy równania z jedna niewiadomą. Rugować `k` możesz na kilka sposobów - każdy z nich prowadzi do wielomianu, który może mieć kilka pierwiastków, ale wcale nie znaczy to, że każde rozwiązanie będzie spełniało wszystkie równania.
Inna sprawa, że rugowanie `k` jest bez sensu, skoro wiadomo, że `k=2`
Inna sprawa, że rugowanie `k` jest bez sensu, skoro wiadomo, że `k=2`
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Wielomian z parametrem
Uważam, że nie wystarczy.
Bo otrzymamy wtedy dwa rozwiązania, jedno nie spełniające warunków zadania. Czyli to o jakim pisałem \(\displaystyle{ a=-4,4}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Wielomian z parametrem
"Wtedy" to znaczy jakim sposobem? a4karo zapewne chodzi o przyrównanie wyjściowego wielomianu do \(\displaystyle{ (x+2)^3}\) i w ten sposób wychodzi właśnie jedno rozwiązanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Wielomian z parametrem
Dokładnie tak. W tym celu trzeba wyznaczyć wspólne rozwiązanie trzech równań napisanych przez autora przy `k=3`. Nawiasem mówiąc, wcale nie jest jasne z góry, że takie `a` musi istnieć.
Ostatnio zmieniony 28 sty 2024, o 07:11 przez admin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!