Matematyka.pl

Dlaczego, PoweredDragon, uważasz że źle odpowiedziałem na pytanie autora tematu?

@ Dilectus
Skoro:
\(\displaystyle{ w(x)=\left( \left( x+4\right)^2+1 \right)\left( x^2+1\right)}\)
to dla każdej liczby całkowitej różnej do -4 i różnej od 0, jest on iloczynem dwóch liczb naturalnych większych od 1. Ergo: nie jest liczbą pierwszą.
Dla obu wyłączonych liczb w(x) przyjmuje wartość 17 która jest liczbą pierwszą.

PS
@ matematykipatyk,
Próbowałeś może rozłożyć ten wielomian na iloczyn trójmianów? Udało się to zrobić?

Ponieważ autor wypytywał kilkukrotnie o pytanie jak ma wpaść na to, że ma wielomian rozłożyć na czynniki stopnia II, nie pytał jak to zrobić, tylko jak wpaść na ten sposób; pytał po co. Na to odpowiedź umieścił a4karo, ale najwyraźniej autor jej nie przyswoił (później pytał jeszcze jak to zrobić, ale o pierwszym pytaniu zapomniano). Twoja odpowiedź nie dotyczyła zaś w żaden sposób pytania autora z tematu.

Konkludując i reasumując wszystkie powyższe wpisy napiszę co następuje . Na pomysł rozkładu wielomianu czwartego stopnia na czynniki będące trójmianami kwadratowymi należy "wpaść" z tego powodu, że treść zadania jest sformułowana w ten sposób, że szukamy wartości wielomianu które są liczbami pierwszymi. Rozkład liczby pierwszej wygląda tak: \(\displaystyle{ p=1 \cdot p}\). Biorąc pod uwagę to ,że taki rozkład wielomianu zawsze istnieje należy go przeprowadzić. Rozwiązanie dalszej części zadania jest już stosunkowo proste tj. zakładamy, że albo pierwszy trójmian jest równy jeden albo drugi jest równy jeden no i liczymy wartość drugiego dla wyznaczonego w ten sposób \(\displaystyle{ x}\).

Cały czas jednak mam problem ze stronę techniczną tego zagadnienia.Tj.
\(\displaystyle{ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+(c+a)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd}\)

Wówczas:

\(\displaystyle{ c+a = 8}\) ; \(\displaystyle{ d+ac+b=18}\) ; \(\displaystyle{ ad+bc=8}\) ; \(\displaystyle{ bd=17}\)
No i problem polega na tym, że są koszmarnie trudne do rozwiązania równania. No i co teraz ???????

Nic teraz. W zadaniach, które napotkasz sposoby rozkładu będą widoczne (albo łatwe pierwiastki całkowite, albo łatwe zespolone).

W innych przypadkach są efektywne metody numeryczne,bo wcale nie jest powiedziane, że te współczynniki będą całkowite.

Ale problem polega na tym, że jest to zadanie z książki przygotowującej do matury więc metody numeryczne odpadają. Jedyne rozwiązanie jakie nie wykracza poza umiejętności ucznia liceum to to przedstawione przez MrCommando tzn:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17=x^4+x^2+8x^3+8x+17x^2+17=\\=x^2(x^2+1)+8x(x^2+1)+17(x^2+1)=(x^2+1)(x^2+8x+17)}\)
Tylko wg. mnie jest to trudne do zauważenia. Przytoczę tez kolejne moim zdaniem podobne zadanie

Uzasadnij ,że wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^4-4x^3+5x^2+4x+4}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Mógłbym znowu zastosować rozkład na iloczyny \(\displaystyle{ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\) . Zakładając ,że zadanie jest poprawnie sformułowane to wyróżniki obydwu będą większe od zera. To warunkowałoby ten fakt, że wykres wielomianu jest powyżej osi \(\displaystyle{ Ox}\).

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-4x^3+5x^2+4x+4=x^4-4x^3+4x^2+x^2+4x+4=(x^2-2x)^2+(x+2)^2}\)

Suma kwadratów liczb rzeczywistych zeruje się tylko wtedy, gdy wszystkie te liczby są zerami. Łatwo zauważyć zatem, że suma \(\displaystyle{ (x^2-2x)^2+(x+2)^2}\) nigdy się nie wyzeruje.

To czy trudno jest zauważyć taki rozkład czy nie, to pojęcie względne, bo zależy tak naprawdę od naszej biegłości w przekształceniach. Jednym się taki rozkład narzuci od razu, jeżeli mają odpowiednią wprawę i rozwinięte myślenie, a osobom niewprawionym może sprawić to problem.

EDIT: No, Premislav mnie wyprzedził. Poza tym jeżeli nie widzisz takiego rozkładu, to zawsze możesz wykorzystać rachunek różniczkowy i wykazać, że najmniejsza wartość tego wielomianu jest liczbą dodatnią.

Generalnie sprawne stosowanie wzorów skróconego mnożenia to podstawa na maturze.

Wróćmy jednakowoż do tego: \(\displaystyle{ c+a = 8 ; \ d+ac+b=18 \ ; ad+bc=8 \ ; \ bd=17}\).
Zauważ, że w kontekście tego zadania interesuje Cię taki rozkład, w którym współczynniki będą całkowite (nie zawsze taki musi istnieć, por. kryterium Eisensteina, tutaj jednak istnieje), w innym przypadku taki rozkład nic by Ci nie dał w kontekście zadania. Zatem skoro \(\displaystyle{ bd=17}\), to możesz wnioskować, że \(\displaystyle{ b=17}\) i \(\displaystyle{ d=1}\) lub \(\displaystyle{ b=-17}\) i \(\displaystyle{ d=-1}\) (jeszcze może być na odwrót, ale zauważ, że w żaden sposób nie wyróżniasz żadnego z tych czynników, więc wystarczy rozważyć takie możliwości). No i w efekcie to Ci się redukuje do rozważenia dwóch układów równań z dwoma niewiadomymi, któryś z nich będzie miał rozwiązanie, jakiego oczekujesz.

W książce w obu przypadkach spodziewali się podobnego postępowania:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17=x^4+8x^3+17x^2+x^2+8x+17=\\=x^2(x^2+8x+17)+x^2+8x+17=(x^2+1)(x^2+8x+17)}\)

\(\displaystyle{ w(x)= x^4-4x^3+5x^2+4x+4=x^4-4x^3+4x^2+x^2+4x+4=\\=x^2(x^2-4x+4)+(x^2+4x+4)=x^2(x-2)^2+(x+2)^2}\)

OK . To ogromne dzięki. Chyba bardziej się nie da rozwałkować tego zadania.

W takim razie wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17=(x^2+1)(x^2+8x+17)}\) może być liczbą pierwszą tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest równy jeden. Sprawdźmy:

\(\displaystyle{ x^2+1 = 1 \Leftrightarrow x=0}\)

\(\displaystyle{ W(0)= 1\cdot (x^2+8x+17)=17}\)

\(\displaystyle{ x^2+8x+17=1 \Leftrightarrow x=-4}\)

\(\displaystyle{ w(-4)= 17 \cdot 1 = 17}\)

A więc wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17}\) jest liczbą pierwszą równą \(\displaystyle{ 17}\) wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=-4 \quad \vee \quad x=0}\).

Czy to jedyne iksy, dla któwych \(\displaystyle{ w(x)=17}\)? Sprawdźmy:

\(\displaystyle{ x^4+8x^3+18x^2+8x+17=17}\)

\(\displaystyle{ x(x^3+8x^2+18x+8)=0}\)

\(\displaystyle{ x(x+4)(x^2+4x+2)=0}\)

\(\displaystyle{ x(x+4)(x+2+ \sqrt{2})(x+2- \sqrt{2})=0}\)

\(\displaystyle{ x=-4\quad \vee \quad x=-2- \sqrt{2}\quad \vee \quad x=-2+ \sqrt{2} \quad \vee \quad x=0}\)

Mamy więc aż cztery iksy, dla których \(\displaystyle{ w(x)=17}\)

Dilectus, rozważamy tylko liczby całkowite, więc wyznaczanie tych niewymiernych rozwiązań jest zbędne.

MrCommando, masz rację. Zapomniałem, że chodzi o liczby całkowite.

Dilectus pisze:W takim razie wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17=(x^2+1)(x^2+8x+17)}\) może być liczbą pierwszą tylko wtedy,...

Wielomian może być liczba pierwszą tylko wtedy gdy jest wielomianem stałym o wartości będącej liczbą pierwszą.

a4karo pisze:Wielomian może być liczba pierwszą tylko wtedy gdy jest wielomianem stałym o wartości będącej liczbą pierwszą.

Dla mnie nawet ten przypadek jest wątpliwy...

JK