Wielomian i liczby złożone
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Wielomian i liczby złożone
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, który nie jest wielomianem stałym, to istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ P(x)}\) jest liczbą złożoną.
Proszę o zweryfikowanie, czy taki dowód nie wprost jest poprawny i wskazanie ewentualnych błędów w moim rozumowaniu:
Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) można wyrazić za pomocą wzoru ogólnego \(\displaystyle{ P(x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + p}\)
Załóżmy przeciwnie, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x}\) wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest liczbą pierwszą.
Wówczas \(\displaystyle{ P(0) = p}\) jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ P(kp)}\) (gdzie \(\displaystyle{ kp}\) jest pewną wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ p}\), a \(\displaystyle{ k \ge 1}\)) również jest liczbą pierwszą, a ponadto \(\displaystyle{ p|P(kp)}\).
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ p = P(kp)}\), czyli wielomian przyjmuje tę samą wartość nieskończoną liczbę razy, a więc jest wielomianem stałym - otrzymaliśmy sprzeczność.
Proszę o zweryfikowanie, czy taki dowód nie wprost jest poprawny i wskazanie ewentualnych błędów w moim rozumowaniu:
Wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) można wyrazić za pomocą wzoru ogólnego \(\displaystyle{ P(x) = a_nx^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + p}\)
Załóżmy przeciwnie, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ x}\) wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest liczbą pierwszą.
Wówczas \(\displaystyle{ P(0) = p}\) jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ P(kp)}\) (gdzie \(\displaystyle{ kp}\) jest pewną wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ p}\), a \(\displaystyle{ k \ge 1}\)) również jest liczbą pierwszą, a ponadto \(\displaystyle{ p|P(kp)}\).
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ p = P(kp)}\), czyli wielomian przyjmuje tę samą wartość nieskończoną liczbę razy, a więc jest wielomianem stałym - otrzymaliśmy sprzeczność.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10249
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2373 razy
Re: Wielomian i liczby złożone
Co w tym kontekście oznacza liczba złożona? Jeśli to co zawsze, tj. liczbę naturalną większą niż jeden i nie pierwszą, to teza jest nieprawdziwa, a kontrprzykładem jest wielomian \(\displaystyle{ P(x) = -x^2 - 1}\). Błąd zaś w Twoim rozwiązaniu jest w założeniu nie wprost, które zakłada niejawnie, że wszystkie możliwe wartości wielomianu \(\displaystyle{ P}\) dzielą się na liczby pierwsze i liczby złożone.
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Wielomian i liczby złożone
Tak, chodzi o tę definicję liczby złożonej. Faktycznie, ta teza jest wtedy nieprawdziwa... Sprawdziłem jeszcze raz treść zadania i jest dokładnie taka, jak napisałem. Gdyby jednak współczynniki nie mogły być ujemne, wtedy taka teza byłaby prawdziwa. Rozumiem, że w moim dowodzie nie uwzględniłem przypadku, gdy \(\displaystyle{ P(0)}\) nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, czyli np. \(\displaystyle{ P(0) = 1}\). Jak wówczas mógłbym podejść do takiego dowodu?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10249
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2373 razy
Re: Wielomian i liczby złożone
Wystarczy założyć, że współczynnik wiodący wielomianu jest dodatni, wtedy Twój dowód jest poprawny po odpowiedniej modyfikacji. Dla dostatecznie dużych naturalnych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ P(x) > 1}\). Weźmy jedno takie \(\displaystyle{ x}\) i niech \(\displaystyle{ p = P(x)}\). Jeśli jest to liczba złożona, to koniec. W przeciwnym razie jest to liczba pierwsza. Znów dla dostatecznie dużych naturalnych \(\displaystyle{ k}\) mamy \(\displaystyle{ P(x+kp) > p}\), a jednocześnie \(\displaystyle{ p \mid P(x+kp) - P(x)}\), czyli \(\displaystyle{ p \mid P(x+kp)}\). Zatem \(\displaystyle{ P(x+kp)}\) jest liczbą złożoną.
Podobne rozumowanie zadziała przy założeniu, że wielomian jest nieparzystego stopnia. Jedynym problematycznym przypadkiem są więc wielomiany parzystego stopnia o ujemnym współczynniku wiodącym, czyli takie które przyjmują tylko skończenie wiele dodatnich wartości (dla argumentów naturalnych).
Podobne rozumowanie zadziała przy założeniu, że wielomian jest nieparzystego stopnia. Jedynym problematycznym przypadkiem są więc wielomiany parzystego stopnia o ujemnym współczynniku wiodącym, czyli takie które przyjmują tylko skończenie wiele dodatnich wartości (dla argumentów naturalnych).
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Wielomian i liczby złożone
Czy to, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) naturalnych \(\displaystyle{ P(x)\gt1}\) wynika z faktu, że dla \(\displaystyle{ x\rightarrow \infty}\) \(\displaystyle{ P(x) \rightarrow \infty}\), gdy nie jest to wielomian stały? Dlaczego musimy analizować \(\displaystyle{ P(x + kp)}\), nie wystarczyłoby tylko \(\displaystyle{ P(kp)}\)?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10249
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2373 razy
Re: Wielomian i liczby złożone
Tak, i gdy ma dodatni współczynnik wiodący.
Dlatego że na ogół \(\displaystyle{ y - x \mid P(y) - P(x)}\) gdy \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ P}\) ma współczynniki całkowite. Stąd \(\displaystyle{ kp \mid P(x+kp) - P(x)}\), ale niczego użytecznego o \(\displaystyle{ P(kp) - P(x)}\) powiedzieć nie można. Z kolei \(\displaystyle{ kp \mid P(kp) - P(0)}\), ale to też nic nie daje, bo nie wiemy nic o \(\displaystyle{ P(0)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Wielomian i liczby złożone
Chyba nie do końca rozumiem, z czego wynika to, że \(\displaystyle{ y - x | P(y) - P(x)}\), a co za tym idzie tego przejścia: \(\displaystyle{ kp | P(x + kp) - P(x)}\), czyli \(\displaystyle{ p | P(x + kp)}\). Czy mógłbyś mi to wyjaśnić?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4103
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1408 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 90
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Wielomian i liczby złożone
Okej, chyba zrozumiałem - chodzi o to, że obliczając różnicę wielomianów \(\displaystyle{ P(y) - P(x)}\) możemy ostatecznie przy każdym wyrazie postaci \(\displaystyle{ a_n\cdot y^n - a_n\cdot x^n}\) "wyłączyć przed nawias" \(\displaystyle{ y-x}\), natomiast wyrazy wolne się zredukują, tak?
Czy takie coś jest prawdziwe dla wszystkich wielomianów/wynika wprost z jakiejś własności lub twierdzenia?
Idąc dalej, skoro \(\displaystyle{ kp|P(x + kp) - P(x)}\), to skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ p|P(x + kp)}\)?
Czy takie coś jest prawdziwe dla wszystkich wielomianów/wynika wprost z jakiejś własności lub twierdzenia?
Idąc dalej, skoro \(\displaystyle{ kp|P(x + kp) - P(x)}\), to skąd wiadomo, że \(\displaystyle{ p|P(x + kp)}\)?