Udowodnij że wielomian...
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 18 paź 2010, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lipowiec
Udowodnij że wielomian...
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\)
Poprawa wiadomości.Czy tak to miało wyglądać?
Ostatnio zmieniony 27 wrz 2011, o 17:36 przez ares41, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Udowodnij że wielomian...
Jeżeli wielomian jest podzielny przed \(\displaystyle{ x^2+1}\) to jest też podzielny przez \(\displaystyle{ x-i \text{ i }x+i}\).
Wystarczy sprawdzić czy wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-i \text{ i }x+i}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
Wystarczy sprawdzić czy wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-i \text{ i }x+i}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
Udowodnij że wielomian...
Można też zapisać \(\displaystyle{ \left(x^2 \right)^{2n-1}+1^{2n-1}}\) i zastosować wzór na \(\displaystyle{ a^{2k+1}+b^{2k+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 18 paź 2010, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lipowiec
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Udowodnij że wielomian...
To zależy którym sposobem chcesz robić.
W moim wystarczy zauważyć, że jedyne pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^2+1}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ \{-i,i\}}\).
Wystarczy więc sprawdzić, czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) wyrażenia
\(\displaystyle{ i^{4n-2}+1 \text{ i } (- i)^{4n-2}+1}\) są równe zero.
W moim wystarczy zauważyć, że jedyne pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^2+1}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ \{-i,i\}}\).
Wystarczy więc sprawdzić, czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) wyrażenia
\(\displaystyle{ i^{4n-2}+1 \text{ i } (- i)^{4n-2}+1}\) są równe zero.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Udowodnij że wielomian...
Wątpię, żeby autor znał liczby zespolone, przeczytałem trochę i chyba wiem jak to trzeba by było dokończyć, skorzystamy z tego, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).
Sprawdźmy czy \(\displaystyle{ i^{4n-2}+1=0}\)
\(\displaystyle{ i ^{2(2n-1)}+1=0 \\
(-1) ^{2n-1} +1=0}\)
\(\displaystyle{ 2n-1}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\) to kolejne liczby nieparzyste, także \(\displaystyle{ (-1) ^{2n-1}=-1}\). Mamy więc \(\displaystyle{ -1+1=0}\) co jest prawdą.
Teraz pozostało nam do udowodnienia \(\displaystyle{ (-i)^{4n-2}+1=0}\)
Przekształcamy na: \(\displaystyle{ (-1)^{4n-2} \cdot i ^{2(2n-1)}+1=0}\) co nam daje: \(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)+1=0}\) co też jest prawdziwe.
Także wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\).
Dobrze?
Sprawdźmy czy \(\displaystyle{ i^{4n-2}+1=0}\)
\(\displaystyle{ i ^{2(2n-1)}+1=0 \\
(-1) ^{2n-1} +1=0}\)
\(\displaystyle{ 2n-1}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\) to kolejne liczby nieparzyste, także \(\displaystyle{ (-1) ^{2n-1}=-1}\). Mamy więc \(\displaystyle{ -1+1=0}\) co jest prawdą.
Teraz pozostało nam do udowodnienia \(\displaystyle{ (-i)^{4n-2}+1=0}\)
Przekształcamy na: \(\displaystyle{ (-1)^{4n-2} \cdot i ^{2(2n-1)}+1=0}\) co nam daje: \(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)+1=0}\) co też jest prawdziwe.
Także wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\).
Dobrze?
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Udowodnij że wielomian...
Tak. Można też trochę inaczej.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ (-i)^2=-1}\), zatem:
\(\displaystyle{ (-i)^{4n-2}+1= \frac{(-i)^{2(2n)}}{(-i)^2}+1= \frac{1}{-1}+1=0}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ (-i)^2=-1}\), zatem:
\(\displaystyle{ (-i)^{4n-2}+1= \frac{(-i)^{2(2n)}}{(-i)^2}+1= \frac{1}{-1}+1=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Udowodnij że wielomian...
Dzięki, a jak by to indukcyjnie zrobić? Na początku zakładamy, że \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest postaci \(\displaystyle{ t(x^2+1)}\) ? Potem dla \(\displaystyle{ n+1}\) udowadniamy korzystając z założenia?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Udowodnij że wielomian...
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) działa, zakładamy, że działa dla pewnego n, czyli \(\displaystyle{ x^2+1 | x^{4n-2} + 1}\), zostaje dowieść, że \(\displaystyle{ x^2+1 | x^{4n+2}+1}\), ale:
\(\displaystyle{ x^{4n+2}+1 = x^4(x^{4n-2}+1)+1-x^4 = x^4(x^{4n-2}+1)-(x^2-1)(x^2+1)}\)
1 składnik z założenia indukcyjnego jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), drugi jak widać również się dzieli.
\(\displaystyle{ x^{4n+2}+1 = x^4(x^{4n-2}+1)+1-x^4 = x^4(x^{4n-2}+1)-(x^2-1)(x^2+1)}\)
1 składnik z założenia indukcyjnego jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), drugi jak widać również się dzieli.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Udowodnij że wielomian...
Dzięki
Ten wzór masz na samym dole: ... %C5%BCeniafrej pisze:Można też zapisać \(\displaystyle{ \left(x^2 \right)^{2n-1}+1^{2n-1}}\) i zastosować wzór na \(\displaystyle{ a^{2k+1}+b^{2k+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 18 paź 2010, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lipowiec
Udowodnij że wielomian...
no ok, powoli to ogarnaim, tylko czy mozecie mi to wytlumaczyc na poziomie II kl LO, gdyz jestesmy teraz przy wielomianach, tw.bezouta, dzielenie wielomianow, rownania wielomianowe itp., i chodzi mi o to abym mogl to jakos wytlumaczyc przy tablicy, i aby nie bylo niestworzonych rzeczy,
z gory dziekuje;)
z gory dziekuje;)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Udowodnij że wielomian...
Ogólnie te zadanie jest dla poziomu rozszerzonego (albo i wyżej ), a indukcja jest w 1 LO także powinieneś to umieć. Na sposób ze zespolonymi nie patrz, no chyba, że chcesz się wykazać, a zaraz sprawić zdziwienie Sposób frej'a jest prosty, wystarczy wstawić do tego wzoru i już jest wykazane.
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 18 paź 2010, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lipowiec
Udowodnij że wielomian...
doobra wielke dzieki,bo liczb zespolonych jeszcze nie mielismy;p
a czy moglbys mi to przedstawic krok po kroku sposobem frej'a??
a czy moglbys mi to przedstawic krok po kroku sposobem frej'a??