Udowodnić, że wielomian jest podzielny przez inny wielomian
-
- Użytkownik
- Posty: 3421
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Udowodnić, że wielomian jest podzielny przez inny wielomian
Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ x^{3n+2}+x^{3k+1}+x^{3m}}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k,m,n}\).
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
-
- Użytkownik
- Posty: 22262
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3764 razy
Re: Udowodnić, że wielomian
WSK. Pokaż, że każdy pierwiastek trójmianu kwadratowego jest pierwiastkiem wielomianu
Wsk2 kazdy pierwiastek trójmianu kwadratowego spełnia rrównanie `t^3=1`
Wsk2 kazdy pierwiastek trójmianu kwadratowego spełnia rrównanie `t^3=1`
-
- Użytkownik
- Posty: 3421
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że wielomian
Ale przecież ten trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków. To co tu pokazywać?
A tej drugiej wskazówki to w ogóle nie rozumiem. Jeśli \(\displaystyle{ t^3=1}\) to \(\displaystyle{ t=1}\)... i co z tego?
A tej drugiej wskazówki to w ogóle nie rozumiem. Jeśli \(\displaystyle{ t^3=1}\) to \(\displaystyle{ t=1}\)... i co z tego?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11558
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
Re: Udowodnić, że wielomian
wsk \(\displaystyle{ W(x)-(x^2+x+1)= x^2(x^{3n}-1)+ x(x^{3k}-1) +x^{3m}-1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22262
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3764 razy
-
- Administrator
- Posty: 34456
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Udowodnić, że wielomian
Co nie wyklucza użycia zespolonych przy rozwiązaniu.
Serio? W jakim kraju?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3421
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że wielomian jest podzielny przez inny wielomian
Ok, to idąc za wskazówką mola mamy:
\(\displaystyle{ W(x)-(x^2+x+1)= x^2(x^{3n}-1)+ x(x^{3k}-1) +x^{3m}-1=
}\)
\(\displaystyle{ =x^2(x^3-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x^3-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x^3-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})=}\)
\(\displaystyle{ =x^2(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})=
}\)
\(\displaystyle{ =(x^2+x+1)(x^2(x-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})) }\).
Wyciągneliśmy \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) przed duży nawias, a w dużym nawiasie mamy pewien wielomian, a zatem wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), bo \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x+1)(x^2(x-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})+1)}\).
Czy tak jest dobrze?
\(\displaystyle{ W(x)-(x^2+x+1)= x^2(x^{3n}-1)+ x(x^{3k}-1) +x^{3m}-1=
}\)
\(\displaystyle{ =x^2(x^3-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x^3-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x^3-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})=}\)
\(\displaystyle{ =x^2(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})=
}\)
\(\displaystyle{ =(x^2+x+1)(x^2(x-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})) }\).
Wyciągneliśmy \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) przed duży nawias, a w dużym nawiasie mamy pewien wielomian, a zatem wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), bo \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x+1)(x^2(x-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})+1)}\).
Czy tak jest dobrze?
-
- Administrator
- Posty: 34456
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3421
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 997 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić, że wielomian jest podzielny przez inny wielomian
Ojejku, a czy to jest takie ważne? Jest to zadanie z pewnego zbioru trudniejszych zadań dla liceum. Fakt, że niektóre zadania z tego zbioru są gwiazdkowe, ale to jest jednak zakres szkoły średniej. Dobrej szkoły średniej. Tyle wystarczy?
Lepiej powiedz mi, czy dobrze rozwiązałem to zadanie post wyżej.
Dodano po 1 dniu 43 minutach 3 sekundach:
Czy może ktoś zweryfikować czy post wyżej dobrze to rozwiązałem?
Lepiej powiedz mi, czy dobrze rozwiązałem to zadanie post wyżej.
Dodano po 1 dniu 43 minutach 3 sekundach:
Czy może ktoś zweryfikować czy post wyżej dobrze to rozwiązałem?