Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli liczba \(\displaystyle{ a + b \sqrt{5} }\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to również liczba \(\displaystyle{ a − b \sqrt{5} }\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Teza nie jest prawdziwa bez dodatkowego założenia, żę `a` i `b` są całkowite.

Oblicz `W(a+b\sqrt5)` i `W(a-b\sqrt5)` i zobacz czym się różnią.

To nie prawda, \(\displaystyle{ a= \sqrt{5}/2}\), \(\displaystyle{ b=1/2}\) oraz \(\displaystyle{ x^2-5\in \ZZ[X]}\). To kontrprzykład. Ale to pewnie będzie prawda jak założysz, że \(\displaystyle{ a,b\in \ZZ}\). Dowód powinien być analogiczny do tego, że jeśli \(\displaystyle{ z_0\in\CC}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w\in \RR[X]}\) to \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) jest też jest pierwiastkiem. Zdefiniuj "sprzężenie" \(\displaystyle{ *:\ZZ[ \sqrt{5} ] \to \ZZ[ \sqrt{5} ]}\) i zobacz jak współpracuje z wielomianami o całkowitych współczynnikach.