Udowodnić nierówność dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) i każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 1+x+x^2+...+x^{2n}>0}\)
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Udowodnić nierówność dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby naturalnej n
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Udowodnić nierówność
Ok, racja to jest ciąg geometryczny. Czy może być takie uzasadnienie? Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\), to oczywiście lewa strona jest dodatnia bo suma dowolnej ilości jedynek jest dodatnia, a jeśli \(\displaystyle{ x \neq 1}\) to mamy, że lewa strona jest równa \(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x} }\) i teraz zauważmy, że gdy \(\displaystyle{ 0<x<1}\) to licznik i mianownik jest dodatni, bo od jedynki odejmujemy liczbę mniejszą niż jeden, a jeśli \(\displaystyle{ x\le 0}\) to znowu licznik i mianownik jest dodatni, bo od jedynki odejmujemy liczbę niedodatnią, a iloraz dwóch liczb dodatnich jest dodatni, albo \(\displaystyle{ x>1}\) i wówczas licznik jest ujemny i mianownik też jest ujemny, bo mamy nieparzystą potęgę \(\displaystyle{ x}\), a zatem i w tym przypadku lewa strona jest dodatnia.
Czy tak jest dobrze?
Czy tak jest dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnić nierówność dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby naturalnej n
Prościej tak: funkcja `x^{2n+1}` jest ściśle rosnąca, więc znaki wyrażeń `x^{2n+1}-1^{2n+1}` i `x-1` są takie same/