Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ P(x)= x^{2n}+ x^n+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^{2m}- x^m+1 }\), to dzieli się też przez \(\displaystyle{ x^{2m}+x^m+1}\).

Mamy wzór:

(*) \(\displaystyle{ x^{4t}+x^{2t}+1=\left( x^{2t}+x^{t}+1\right) \left( x^{2t}-x^{t}+1\right) }\)

więc weźmy wielomian:

\(\displaystyle{ P(x)=x^{2n}+x^{n}+1}\)

niech:

\(\displaystyle{ n=2^sr , r}\) - nieparzyste...

\(\displaystyle{ 2n=2^{s+1}r}\)

wielomian: \(\displaystyle{ P(x)}\) możemy zapisać zgodnie z (*) następująco:

\(\displaystyle{ P(x)= \prod_{i=0}^{s-1} \left( x^{2^{i+1}r}+x^{2^ir}+1\right) \prod_{i=0}^{s-1} \left( x^{2^{i+1}r}-x^{2^ir}+1\right) }\)

wynika stąd, że jeżeli wielomian typu:

\(\displaystyle{ x^{2m}+x^{m}+1}\) dzieli \(\displaystyle{ P(x}\)) to także dzieli go wielomian typu:

\(\displaystyle{ x^{2m}-x^{m}+1}\)

cnd...

a gdy \(\displaystyle{ s=0}\) ?

Gdy \(\displaystyle{ s=0}\) to raczej podzielności nie będzie...(albo i będzie ale już bez sprzężenia)

ale póki co formalnie nie widzę tego, żeby wykazać...

A już wpadłem , gdyby jednak tak się stało, że:

\(\displaystyle{ P(x)=\left( x^{2m}+x^m+1\right) \left( x^{2m}-x^m+1\right) \cdot w(x)=\left( x^{4m}+x^{2m}+1\right) \cdot w(x)}\)

Czyli byłoby:

\(\displaystyle{ P(x)= x^{2n}+x^n+1 =\left( x^{4m}+x^{2m}+1\right) \cdot w(x)=L(x)}\)

Jak widać:

\(\displaystyle{ 4}\) nie dzieli stopnia \(\displaystyle{ P(x)}\) bo \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste

ale:

\(\displaystyle{ 4| st\left[ L(x)\right] }\)

tego co jest z prawej co daje sprzeczność...

A jeśli \(\displaystyle{ w(x)=x^2+ 1}\) itp ?

Ale zaraz zaraz z której strony i jakie ma to znaczenie?
Jaśniej...
Bo tym bardziej prawa strona będzie podzielna przez 4 tzn. (stopień) a lewa nie...

a nie \(\displaystyle{ 4m+2}\) ....?

A sorki tak zakręciłem się

Spoko, nie ma pośpiechu; jeszcze chciałem wskazać, że z samym wielomianem \(\displaystyle{ P}\) kojarzy się/ nasuwa się aby coś kombinować z liczbami zepolonymi,
\(\displaystyle{ t=x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{t^3-1}{t-1} }\)...itd.