Do jakiej potęgi należy podnieść dwumian \(\displaystyle{ a+b}\), aby w rozwinięciu suma wykładników potęg liczby \(\displaystyle{ a}\) we wszystkich wyrazach wyniosła \(\displaystyle{ 120}\)?
Jakiś inny sposób na rozwiązanie niż tylko: Jest to taka liczba \(\displaystyle{ n}\) dla której spełniony jest warunek: \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=120}\) i stąd \(\displaystyle{ n=15}\). Da się to jakoś porządnie wykazać?
Suma wykładników potęg w rozwinięciu dwumianu
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Suma wykładników potęg w rozwinięciu dwumianu
To chyba najprostsze rozwiązanie, jak już wiemy, że szukamy \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=120}\) (bo w rozwinięciu dwumianu wykładniki przy \(\displaystyle{ a}\) będą rosły od 0 do n w każdym wyrazie o 1) to wystarczy skorzystać ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego o różnicy \(\displaystyle{ 1}\) i mamy \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=\frac{(n+1)n}{2}=120}\) i od razu wychodzi \(\displaystyle{ n=15}\)