suma pierwiastków wielomianu podniesionych do ósmej potęgi

amadeuszi · Post autor: **amadeuszi** » 10 paź 2012, o 00:45

Oblicz sumę: \(\displaystyle{ x^{8}+y^{8}+z^{8}}\) gdzie\(\displaystyle{ x,y,z}\) są pierwiastkami wielomianu:
\(\displaystyle{ w(x)=x^{3}-3x+1}\)

jak na razie obliczyłem tyle i nie wiem co dalej(wzory Viete'a):
\(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
\(\displaystyle{ xy+xz+yz=-3}\)
\(\displaystyle{ xyz=-1}\)
\(\displaystyle{ (x+y+z)^{2}-2(xy+xz+yz)=0^{2}- 2 \cdot \left( -3\right)=6=x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

pyzol · Post autor: **pyzol** » 10 paź 2012, o 01:13

Ja bym policzył najpierw takie coś:
\(\displaystyle{ (x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)}\)
I zaczął od tego:
\(\displaystyle{ x^8+y^8+z^8=(x^4+y^4+z^4)^2 -2x^4 y^4-2y^4z^4 -2x^4z^4}\)
Ale liczenia przyznam dużo. Może ktoś będzie miał lepszy pomysł.

HuBson · Post autor: **HuBson** » 10 paź 2012, o 02:34

podnieś wyrażenie\(\displaystyle{ xy+xz+yz=-3}\) do kwadratu, a dalej wykorzystaj
\(\displaystyle{ xyz=-1}\) dla wyrazów występujących 2-krotnie i potem użyj \(\displaystyle{ x+y+z=0}\)

amadeuszi · Post autor: **amadeuszi** » 10 paź 2012, o 17:14

HuBson, Dzięki, wyszło

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 11 paź 2012, o 16:18

Wzory Newtona

\(\displaystyle{ ne_{n}=\sum_{r=1}^{n}\left( -1\right)^{r-1} p_{r}e_{n-r}}\)

\(\displaystyle{ n=8}\)

\(\displaystyle{ e_{r}}\)

Wystepujace m.in we wzorach Viete wielomiany symetryczne podstawowe

\(\displaystyle{ p_{r}}\)

suma poteg \(\displaystyle{ p_{r}=\sum_{k=1}^{3}x_{k}^{r}}\)