Równanie z parametrem.
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 29 kwie 2023, o 17:36
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 16
- Podziękował: 4 razy
Równanie z parametrem.
Dane jest równanie \(\displaystyle{ m^2x^3 − (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\). Znaleźć takie wartości parametru \(\displaystyle{ m\in \mathbb{Z} }\) dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 22242
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Równanie z parametrem.
Jeden pierwiastek masz za darmo.
Uzasadnij, że jeżeli istnieje dodatni całkowity pierwiastek tego równania, to \(\displaystyle{ \frac{m+6}{m}}\) jest liczbą całkowitą. Jaki wniosek wyciągniesz z tego faktu?
Uzasadnij, że jeżeli istnieje dodatni całkowity pierwiastek tego równania, to \(\displaystyle{ \frac{m+6}{m}}\) jest liczbą całkowitą. Jaki wniosek wyciągniesz z tego faktu?
Ostatnio zmieniony 5 maja 2023, o 17:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 29 kwie 2023, o 17:36
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 16
- Podziękował: 4 razy
Re: Równanie z parametrem.
A jak mam uzasadnić że to jest liczbą całkowitą. Uzasadnij, że jeżeli istnieje dodatni całkowity pierwiastek tego równania- to mam zrobić jakoś z delta?
-
- Użytkownik
- Posty: 22242
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Równanie z parametrem.
Po prostu napisz to wyrażenie. Gdy suma trzech składników jest zerem i dwa są całkowite, to trzeci też chyba jest, no nie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22242
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Równanie z parametrem.
Jeżeli \(\displaystyle{ x>0}\) jest całkowitym rozwiazaniem równania \(\displaystyle{ m^2x^3 − (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\), to jest również rozwiazaniem równania \(\displaystyle{ m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m+6)=0}\).
Dzieląc to równanie przez `m` dostajemy
\(\displaystyle{ \red{mx^2 − (6+m)x} +\blue{\frac{m+6}{m}}=0}\)
Czerwony kawałek jest liczbą całkowitą, więc ...
Teraz wystarczy zastanowić się dla jakich `m` to niebieskie jest całkowite (a może nawet prościej: kiedy \(\displaystyle{ \frac{6}{m}}\) jest całkowite) i sprawdzić, czy dla tych wartości spełnione sa warunki zadania.
Albo inaczej: w wyrażeniu
\(\displaystyle{ \red{m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m}+6)=0}\)
czerwony kawałek dzieli się przez `m`, więc `m` musi być dzielnikiem liczby `6`
Dzieląc to równanie przez `m` dostajemy
\(\displaystyle{ \red{mx^2 − (6+m)x} +\blue{\frac{m+6}{m}}=0}\)
Czerwony kawałek jest liczbą całkowitą, więc ...
Teraz wystarczy zastanowić się dla jakich `m` to niebieskie jest całkowite (a może nawet prościej: kiedy \(\displaystyle{ \frac{6}{m}}\) jest całkowite) i sprawdzić, czy dla tych wartości spełnione sa warunki zadania.
Albo inaczej: w wyrażeniu
\(\displaystyle{ \red{m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m}+6)=0}\)
czerwony kawałek dzieli się przez `m`, więc `m` musi być dzielnikiem liczby `6`
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 29 kwie 2023, o 17:36
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 16
- Podziękował: 4 razy
Re: Równanie z parametrem.
Poprawną odpowiedzią jest że \(\displaystyle{ m\in\left\{ -6,-5,-4,-3,-1,0\right\} }\). Tutaj w tym niebieskim wyrażeniu dla -4 i dla -5 wyrazenie nie jest całkowite. I co z tym zrobić?
-
- Administrator
- Posty: 34361
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Równanie z parametrem.
Rozwiązanie a4karo ma jedną istotną lukę. Otóż równanie \(\displaystyle{ \blue{m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m+6)=0}}\) może w ogóle nie mieć rozwiązań, wtedy jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania będzie \(\displaystyle{ x=0}\) i warunki będą spełnione.
Nietrudno sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie nie ma rozwiązań. Dla \(\displaystyle{ m\ne0}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta=(6m+m^2)^2-4m^2(m+6)=m^2(m+6)(m+2)}\), czyli \(\displaystyle{ \Delta<0}\) dla \(\displaystyle{ m\in(-6,-2)}\). Stąd dostajesz odpowiedzi \(\displaystyle{ m=-5, m=-4, m=-3}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 29 kwie 2023, o 17:36
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 16
- Podziękował: 4 razy
Re: Równanie z parametrem.
Czyli twoja odpowiedź jest poprawna? I dlaczego obliczyłeś kiedy delta jest mniejsza od zero?
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 29 kwie 2023, o 17:36
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 16
- Podziękował: 4 razy
Re: Równanie z parametrem.
A jak to jest z tą deltą? Dlaczego m=0 i (m=-6) nie spełnia przecież dla nich równanie przyjmuje również wartość zero?
-
- Administrator
- Posty: 34361
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Równanie z parametrem.
Wiesz kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań?Jan Kraszewski pisze: ↑6 maja 2023, o 12:25równanie \(\displaystyle{ \blue{m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m+6)=0}}\) może w ogóle nie mieć rozwiązań,
Równanie nie może przyjmować wartości.
Dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie nie jest kwadratowe, więc ten przypadek rozpatrzyłem osobno. Dostajesz \(\displaystyle{ \blue{6=0}}\), czyli nie ma rozwiązań. Dla \(\displaystyle{ m=-6}\) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\), więc też jest dobrze, ale to inna sytuacja niż brak rozwiązań równania.
JK