Matematyka.pl

Dane jest równanie \(\displaystyle{ m^2x^3 − (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\). Znaleźć takie wartości parametru \(\displaystyle{ m\in \mathbb{Z} }\) dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi.

Jeden pierwiastek masz za darmo.
Uzasadnij, że jeżeli istnieje dodatni całkowity pierwiastek tego równania, to \(\displaystyle{ \frac{m+6}{m}}\) jest liczbą całkowitą. Jaki wniosek wyciągniesz z tego faktu?

A jak mam uzasadnić że to jest liczbą całkowitą. Uzasadnij, że jeżeli istnieje dodatni całkowity pierwiastek tego równania- to mam zrobić jakoś z delta?

Po prostu napisz to wyrażenie. Gdy suma trzech składników jest zerem i dwa są całkowite, to trzeci też chyba jest, no nie?

Ale mógłbyś rozpisać, bo nie wiem w ogóle skąd się wzieło to wyrażenie?

To zadanie na konkurencyjnym forum rozwiązał Pan kerajs.

Załóż że `x` jest całkowitym pierwiastkiem. Podziel równanie przez `m`.

Dobrze ale skąd się wzieło to \(\displaystyle{ \frac{m+6}{m} }\)?

Jeżeli \(\displaystyle{ x>0}\) jest całkowitym rozwiazaniem równania \(\displaystyle{ m^2x^3 − (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\), to jest również rozwiazaniem równania \(\displaystyle{ m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m+6)=0}\).
Dzieląc to równanie przez `m` dostajemy
\(\displaystyle{ \red{mx^2 − (6+m)x} +\blue{\frac{m+6}{m}}=0}\)
Czerwony kawałek jest liczbą całkowitą, więc ...
Teraz wystarczy zastanowić się dla jakich `m` to niebieskie jest całkowite (a może nawet prościej: kiedy \(\displaystyle{ \frac{6}{m}}\) jest całkowite) i sprawdzić, czy dla tych wartości spełnione sa warunki zadania.

Albo inaczej: w wyrażeniu
\(\displaystyle{ \red{m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m}+6)=0}\)
czerwony kawałek dzieli się przez `m`, więc `m` musi być dzielnikiem liczby `6`

Poprawną odpowiedzią jest że \(\displaystyle{ m\in\left\{ -6,-5,-4,-3,-1,0\right\} }\). Tutaj w tym niebieskim wyrażeniu dla -4 i dla -5 wyrazenie nie jest całkowite. I co z tym zrobić?

Konio34 pisze: ↑6 maja 2023, o 11:19 Poprawną odpowiedzią jest że \(\displaystyle{ m\in\left\{ -6,-5,-4,-3,-1,0\right\} }\). Tutaj w tym niebieskim wyrażeniu dla -4 i dla -5 wyrazenie nie jest całkowite. I co z tym zrobić?

Rozwiązanie a4karo ma jedną istotną lukę. Otóż równanie \(\displaystyle{ \blue{m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m+6)=0}}\) może w ogóle nie mieć rozwiązań, wtedy jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania będzie \(\displaystyle{ x=0}\) i warunki będą spełnione.

Nietrudno sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie nie ma rozwiązań. Dla \(\displaystyle{ m\ne0}\) mamy \(\displaystyle{ \Delta=(6m+m^2)^2-4m^2(m+6)=m^2(m+6)(m+2)}\), czyli \(\displaystyle{ \Delta<0}\) dla \(\displaystyle{ m\in(-6,-2)}\). Stąd dostajesz odpowiedzi \(\displaystyle{ m=-5, m=-4, m=-3}\).

JK

Czyli twoja odpowiedź jest poprawna? I dlaczego obliczyłeś kiedy delta jest mniejsza od zero?

JK ma oczywiście rację.

A jak to jest z tą deltą? Dlaczego m=0 i (m=-6) nie spełnia przecież dla nich równanie przyjmuje również wartość zero?

Konio34 pisze: ↑6 maja 2023, o 13:10I dlaczego obliczyłeś kiedy delta jest mniejsza od zero?

Jan Kraszewski pisze: ↑6 maja 2023, o 12:25równanie \(\displaystyle{ \blue{m^2x^2 − (6m+m^2)x +(m+6)=0}}\) może w ogóle nie mieć rozwiązań,

Wiesz kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań?

Konio34 pisze: ↑6 maja 2023, o 13:39Dlaczego m=0 i (m=-6) nie spełnia przecież dla nich równanie przyjmuje również wartość zero?

Równanie nie może przyjmować wartości.

Dla \(\displaystyle{ m=0}\) równanie nie jest kwadratowe, więc ten przypadek rozpatrzyłem osobno. Dostajesz \(\displaystyle{ \blue{6=0}}\), czyli nie ma rozwiązań. Dla \(\displaystyle{ m=-6}\) równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\), więc też jest dobrze, ale to inna sytuacja niż brak rozwiązań równania.

JK